Encontre a solução de estado estacionário da equação do calor, satisfazendo as condições de contorno a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a equação do calor para encontrar a solução no estado estacionário. A gente precisa entender como a temperatura se comporta ao longo de uma barra quando ela já parou de mudar com o tempo. As condições de contorno que temos são:
- A temperatura na posição $ x = 0 $ é 10°C, ou seja, $ u(0, t) = 10 $.
- A temperatura na posição $ x = L $ é 30°C, ou seja, $ u(L, t) = 30 $.
Para resolver isso, vamos precisar usar a equação da condução de calor no estado estacionário e aplicar as condições de contorno dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação do calor geral é:
Aqui, $ u(x, t) $ representa a temperatura em um ponto $ x $ e tempo $ t $, e $ \alpha $ é a difusividade térmica da barra.
No estado estacionário, a temperatura não muda mais com o tempo. Ou seja, $ \frac{\partial u}{\partial t} = 0 $. Isso simplifica a equação para:
Passo 3
Com a equação simplificada, temos:
Isso significa que a segunda derivada de $ u $ em relação a $ x $ é zero. Vamos integrar essa equação para encontrar $ u(x) $.
Primeira integração:
Onde $ C_1 $ é uma constante de integração.
Passo 4
Integrando novamente, obtemos a função $ u(x) $:
Aqui, $ C_2 $ é outra constante de integração. Agora, precisamos determinar os valores dessas constantes usando as condições de contorno que nos foram dadas.
Passo 5
Vamos aplicar as condições de contorno:
- Quando $ x = 0 $, $ u(0) = 10 $:
- Quando $ x = L $, $ u(L) = 30 $:
Vamos resolver essa última equação para encontrar $ C_1 $.
Passo 6
Resolvendo para $ C_1 $:
Agora que temos $ C_1 $ e $ C_2 $, podemos escrever a solução completa.
Resposta
A solução de estado estacionário da equação do calor é: