Encontre a solução de estado estacionário da equação do calor, satisfazendo as condições de contorno a seguir:
u(0, t)=10, u(L, t)=30

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a equação do calor para encontrar a solução no estado estacionário. A gente precisa entender como a temperatura se comporta ao longo de uma barra quando ela já parou de mudar com o tempo. As condições de contorno que temos são:
  • A temperatura na posição $ x = 0 $ é 10°C, ou seja, $ u(0, t) = 10 $.
  • A temperatura na posição $ x = L $ é 30°C, ou seja, $ u(L, t) = 30 $.
Para resolver isso, vamos precisar usar a equação da condução de calor no estado estacionário e aplicar as condições de contorno dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação do calor geral é:
partial upartial t = alpha partial^2 upartial x^2
Aqui, $ u(x, t) $ representa a temperatura em um ponto $ x $ e tempo $ t $, e $ \alpha $ é a difusividade térmica da barra.
No estado estacionário, a temperatura não muda mais com o tempo. Ou seja, $ \frac{\partial u}{\partial t} = 0 $. Isso simplifica a equação para:
u(x, t)

Passo 3

Com a equação simplificada, temos:
partial^2 upartial x^2 = 0
Isso significa que a segunda derivada de $ u $ em relação a $ x $ é zero. Vamos integrar essa equação para encontrar $ u(x) $.
Primeira integração:
u
Onde $ C_1 $ é uma constante de integração.

Passo 4

Integrando novamente, obtemos a função $ u(x) $:
u(x)
Aqui, $ C_2 $ é outra constante de integração. Agora, precisamos determinar os valores dessas constantes usando as condições de contorno que nos foram dadas.

Passo 5

Vamos aplicar as condições de contorno:
  1. Quando $ x = 0 $, $ u(0) = 10 $:
x = 0
  1. Quando $ x = L $, $ u(L) = 30 $:
u(0) = 10
Vamos resolver essa última equação para encontrar $ C_1 $.

Passo 6

Resolvendo para $ C_1 $:
C1
Agora que temos $ C_1 $ e $ C_2 $, podemos escrever a solução completa.

Resposta

A solução de estado estacionário da equação do calor é:
u(x) = 20L cdot x + 10

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