Questão 2. (1,5 pontos) Considere atentamente as afirmações a seguir.
i. Se
é contínua, então o gráfico de
intercepta a diagonal do plano cartesiano.
ii.
para todo
, com
.
iii. Se
e
, então
.
A seguir, marque com
a sentença que expressa o julgamento correto referente aos itens i, ii e iii:
Todos os itens são verdadeiros.
i. Se
ii.
iii. Se
A seguir, marque com
Todos os itens são verdadeiros.
Passo 1
Temos três afirmações para julgar:
i. Se é contínua, então o gráfico de
intercepta a diagonal.
ii. para todo
.
iii. Se e
, então
.
Vamos checar cada uma:
i. Se
ii.
iii. Se
Vamos checar cada uma:
Passo 2
A afirmação i usa o Teorema do Ponto Fixo em
, que diz que toda função contínua de um intervalo fechado em si mesmo tem pelo menos um ponto fixo. Geometricamente, o ponto fixo é onde o gráfico cruza a reta
. Logo, i é verdadeira.
Passo 3
Na afirmação ii analisamos o comportamento da tangente nas assíntotas verticais. Em
a função
tende a
ao aproximar-se pela esquerda, pois
aproxima-se de zero por valores positivos. Portanto, ii é falsa.
Passo 4
Na afirmação iii, se
então em torno de
temos
e grande, e se
então
e grande em valor absoluto. O produto de um grande positivo por um grande negativo é grande negativo, ou seja,
. Assim, iii é verdadeira.
Passo 5
Concluindo, apenas as afirmações i e iii são verdadeiras.
Resposta
Apenas as afirmações i e iii são verdadeiras.