Questão 2. (1,5 pontos) Considere atentamente as afirmações a seguir.
i. Se f:[a, b] [a, b] é contínua, então o gráfico de f intercepta a diagonal do plano cartesiano.
ii. lim x a^- tg(x)=-infty para todo a=pi2+k pi, com k in Z.
iii. Se lim x a f(x)=+infty e lim x a g(x)=-infty, então lim x a f(x) g(x)=-infty.
A seguir, marque com X a sentença que expressa o julgamento correto referente aos itens i, ii e iii:
Todos os itens são verdadeiros.

Passo 1

Temos três afirmações para julgar:
i. Se f:[a,b]to[a,b] é contínua, então o gráfico de f intercepta a diagonal.
ii. limxto a^-tan(x)=-infty para todo a=pi2+kpi.
iii. Se limxto af(x)=+infty e limxto ag(x)=-infty, então limxto af(x)g(x)=-infty.
Vamos checar cada uma:

Passo 2

A afirmação i usa o Teorema do Ponto Fixo em R, que diz que toda função contínua de um intervalo fechado em si mesmo tem pelo menos um ponto fixo. Geometricamente, o ponto fixo é onde o gráfico cruza a reta y=x. Logo, i é verdadeira.

Passo 3

Na afirmação ii analisamos o comportamento da tangente nas assíntotas verticais. Em a=pi2+kpi a função tan(x) tende a +infty ao aproximar-se pela esquerda, pois cos(x) aproxima-se de zero por valores positivos. Portanto, ii é falsa.

Passo 4

Na afirmação iii, se f(x)to+infty então em torno de a temos f(x)>0 e grande, e se g(x)to-infty então g(x)<0 e grande em valor absoluto. O produto de um grande positivo por um grande negativo é grande negativo, ou seja, f(x)g(x)to-infty. Assim, iii é verdadeira.

Passo 5

Concluindo, apenas as afirmações i e iii são verdadeiras.

Resposta

Apenas as afirmações i e iii são verdadeiras.

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