Considere uma corda elástica de comprimento L . A extremidade 0 é mantida fixa, enquanto a extremidade está solta. Assim, as condições de contorno são e . A corda é colocada em movimento sem velocidade inicial a partir da posição inicial , onde
Encontre o deslocamento u(x, t);
Passo 1
Temos a equação da onda unidimensional
utt(x,t)=c^2,uxx(x,t), 0<x<L,
com condições de contorno mistas
u(0,t)=0, ux(L,t)=0,
e condições iniciais
u(x,0)=f(x), ut(x,0)=0,
onde
f(x)= 1,& L2-1<x<L2+1, 0,&caso contrário, á
supondo L>2. Vamos resolver por separação de variáveis, encontrando as frequências próprias e expandindo f na base de modos.
Passo 2
Procuramos soluções separáveis u(x,t)=X(x)T(t). Da equação surge
T''(t)c^2T(t)=X''(x)X(x)=-lambda,
com o problema de autovalor em X:
X''+lambda X=0, X(0)=0, X'(L)=0
As condições dão os modos
Xn(x)=sin(mun x), mun=(2n-1)pi2L, n=1,2,dots,
e lambdan=mun^2.
Passo 3
O modo temporal associado satisfaz Tn''+c^2mun^2Tn=0. Assim a solução geral é