Considere uma corda elástica de comprimento L . A extremidade x= 0 é mantida fixa, enquanto a extremidade x=L está solta. Assim, as condições de contorno são u(0, t)=0 e ux(L, t)=0. A corda é colocada em movimento sem velocidade inicial a partir da posição inicial u(x, 0)=f(x), onde
f(x)=lr 1, & L2-1<x<L2+1(L>2) 0, & caso contrário á
Encontre o deslocamento u(x, t);

Passo 1

Temos a equação da onda unidimensional
utt(x,t)=c^2,uxx(x,t), 0<x<L,
com condições de contorno mistas
u(0,t)=0, ux(L,t)=0,
e condições iniciais
u(x,0)=f(x), ut(x,0)=0,
onde
f(x)= 1,& L2-1<x<L2+1, 0,&caso contrário, á
supondo L>2. Vamos resolver por separação de variáveis, encontrando as frequências próprias e expandindo f na base de modos.

Passo 2

Procuramos soluções separáveis u(x,t)=X(x)T(t). Da equação surge
T''(t)c^2T(t)=X''(x)X(x)=-lambda,
com o problema de autovalor em X:
X''+lambda X=0, X(0)=0, X'(L)=0
As condições dão os modos
Xn(x)=sin(mun x), mun=(2n-1)pi2L, n=1,2,dots,
e lambdan=mun^2.

Passo 3

O modo temporal associado satisfaz Tn''+c^2mun^2Tn=0. Assim a solução geral é
u(x,t)=sumn=1^inftyl(Ancos(cmun t)+Bnsin(cmun t)r)sin(mun x)
Da condição ut(x,0)=0 segue Bn=0. Logo
u(x,t)=sumn=1^inftyAncos(cmun t),sin(mun x)

Passo 4

Para determinar An usamos u(x,0)=f(x), isto é
f(x)=sumn=1^inftyAnsin(mun x)
Pela ortogonalidade de sin(mun x) em [0,L], temos
An=2|,sin(mun x)|^2integral0^Lf(x)sin(mun x),dx,
onde
|,sin(mun x)|^2=integral0^Lsin^2(mun x),dx=L2
Logo
An=2Lintegral0^Lf(x)sin(mun x),dx =2LintegralL2-1^L2+1sin(mun x),dx
Fazendo a integral,
integralL2-1^L2+1sin(mun x),dx =1munl[cosl(mun(tfracL2-1)r) -cosl(mun(tfracL2+1)r)r]
Portanto
An=2L,munl[cosl(mun(tfracL2-1)r) -cosl(mun(tfracL2+1)r)r]

Passo 5

Substituindo em u(x,t) obtemos a solução completa:
u(x,t) =sumn=1^infty 2L,munl[cosl(mun(tfracL2-1)r) -cosl(mun(tfracL2+1)r)r] cosl(cmun tr),sin(mun x),
com mun=(2n-1)pi/(2L).

Resposta

u(x,t) =sumn=1^infty 2L,munl[cosl(mun(tfracL2-1)r) -cosl(mun(tfracL2+1)r)r] cosl(cmun tr),sin(mun x), mun=(2n-1)pi2L

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