Encontre a equação da reta de interseção dos planos x+2 y+z=4 e 2 x-y+3 z=5.

Passo 1

O enunciado pede a reta de interseção dos planos
x + 2y + z = 4
e
2x - y + 3z = 5
Isso é um problema de geometria analítica em R^3: a interseção de dois planos não paralelos é uma reta. Para encontrá-la, precisamos de dois elementos:
  1. Um vetor diretor da reta, que é perpendicular a ambas as normais dos planos (obtido pelo produto vetorial).
  2. Um ponto qualquer que satisfaça simultaneamente as duas equações (obtido resolvendo o sistema).

Passo 2

As normais dos planos são
n1 = (1,2,1) e n2 = (2,-1,3).
O vetor diretor v da reta é dado por
v = n1 times n2
v = i & j & k 1 & 2 & 1 2 & -1 & 3 = (7,,-1,,-5)

Passo 3

Para achar um ponto
Da primeira .
Portanto podemos tomar

Passo 4

Agora escrevemos a equação da reta que passa por P e tem direção v.
Equação vetorial / paramétrica:
(x,y,z) = (7,0,-3) + t,(7,-1,-5), tinR
Em forma simétrica:
x-77 ;=;y-0-1;=;z+3-5

Resposta

A reta de interseção é
(x,y,z) = (7,0,-3) + t,(7,-1,-5), tinR,
ou equivalentemente
x-77 ;=;y-1;=;z+3-5

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