Calcule o volume do paralelepípedo definido pelos vetores u=(1,0,2), v=(0,1,1) e w=(1,1,0).

Passo 1

O enunciado pede o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores u=(1,0,2), v=(0,1,1) e w=(1,1,0). Esse é um problema de geometria vetorial em que usamos o produto escalar triplo (ou produto misto) para obter o volume.

Passo 2

A teoria diz que o volume V do paralelepípedo formado por u, v e w em R^3 é dado por
V = l|ucdot(vtimesw)r|

Passo 3

Primeiro calculamos o produto vetorial vtimesw. Montando o determinante:
vtimesw = i & j & k 0 & 1 & 1 1 & 1 & 0 = i(1cdot0 - 1cdot1) - j(0cdot0 - 1cdot1) + k(0cdot1 - 1cdot1)
Isso dá
vtimesw = -i + j - k,
ou seja, vtimesw=(-1,1,-1).

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar de u=(1,0,2) com vtimesw=(-1,1,-1):
ucdot(vtimesw) = 1cdot(-1) + 0cdot1 + 2cdot(-1) = -1 - 2 = -3
O volume é o valor absoluto desse número, logo
V = l|-3r| = 3

Resposta

3

Exercícios relacionados