a)Considere um corda elástica com densidade linear de massa . Mostre que para os componentes verticais a lei de Newton fica da seguinte forma:
(b) Se considerarmos ausência de forças externas no movimento de uma corda vibrante, qual é o nome da equação diferencial parcial que devemos obter?
c) Mostre que a razão entre a tensão da corda e a densidade linear de massa possui dimensão de velocidade ao quadrado.
Passo 1
O enunciado pede modelar o equilíbrio vertical de um pequeno trecho da corda elástica submetida à tensão interna e a uma força externa distribuída . O conteúdo é aplicar a segunda lei de Newton para forças na direção vertical e usar que a massa de um elemento de comprimento é . Vamos mostrar a fórmula discreta indicada.
Passo 2
Considere o elemento de corda entre e .
A massa do trecho vale
A aceleração vertical é . Nas extremidades, as tensões têm componentes verticais
A força externa total no trecho é . Pela segunda lei de Newton na vertical:
Isso coincide com a expressão pedida.
Passo 3
Em regime de pequenas oscilações temos |theta|ll1 e sem força externa (F=0). Então sinthetaapproxthetaapproxpartial u/partial x. Dividindo ambos os lados por De<a x e fazendo De<a xto0, assume-se densidade rho e tensão T uniformes, obtendo
rho,utt=(T,ux)x,
que para T constante reduz-se a
utt=Trho;uxx
Essa é a conhecida equação da onda.
Passo 4
Analisando dimensões: [T]=F=M,L/T^2, [rho]=M/L.
Logo
l[tfracTrhor] =M,L/T^2M/L =L^2/T^2,
que é dimensão de velocidade ao quadrado.
Resposta
(a) Obtivemos diretamente
rho(x)raizDe<a x^2+De<a u^2;utt = T(x+De<a x)sin[theta(x+De<a x)]-T(x)sin[theta(x)]+F(x),De<a x
(b) A equação diferencial parcial resultante é a equação da onda:
utt=Trho,uxx
(c) Pela análise dimensional l[T/rhor] = L^2/T^2, i.e.\ velocidade ao quadrado.