a)Considere um corda elástica com densidade linear de massa rho(x). Mostre que para os componentes verticais a 2^a lei de Newton fica da seguinte forma:
rho(x) raizDe<a x^2+De<a u^2 partial^2partial t^2 u(x, t)= =T(x+De<a x, t) sin [theta(x+De<a x, t)]-T(x, t) sin [theta(x, t)] +F(x, t) De<a x
(b) Se considerarmos |theta(x, t)| ll 1 e ausência de forças externas no movimento de uma corda vibrante, qual é o nome da equação diferencial parcial que devemos obter?
c) Mostre que a razão entre a tensão T da corda e a densidade linear de massa rho possui dimensão de velocidade ao quadrado.

Passo 1

O enunciado pede modelar o equilíbrio vertical de um pequeno trecho da corda elástica submetida à tensão interna T(x,t) e a uma força externa distribuída F(x,t). O conteúdo é aplicar a segunda lei de Newton para forças na direção vertical e usar que a massa de um elemento de comprimento De<a s=raizDe<a x^2+De<a u^2 é rho(x),De<a s. Vamos mostrar a fórmula discreta indicada.

Passo 2

Considere o elemento de corda entre x e x+De<a x.
A massa do trecho vale
m=rho(x),raizDe<a x^2+De<a u^2,
A aceleração vertical é partial^2u/partial t^2. Nas extremidades, as tensões têm componentes verticais
T(x+De<a x,t),sinl[theta(x+De<a x,t)r]e T(x,t),sinl[theta(x,t)r]
A força externa total no trecho é F(x,t),De<a x. Pela segunda lei de Newton na vertical:
underbracerho(x),raizDe<a x^2+De<a u^2,partial^2upartial t^2(x,t)m,ay = T(x+De<a x,t),sin[theta(x+De<a x,t)] - T(x,t),sin[theta(x,t)] + F(x,t),De<a x
Isso coincide com a expressão pedida.

Passo 3

Em regime de pequenas oscilações temos |theta|ll1 e sem força externa ( F=0). Então sinthetaapproxthetaapproxpartial u/partial x. Dividindo ambos os lados por De<a x e fazendo De<a xto0, assume-se densidade rho e tensão T uniformes, obtendo
rho,utt=(T,ux)x,
que para T constante reduz-se a
utt=Trho;uxx
Essa é a conhecida equação da onda.

Passo 4

Analisando dimensões:
[T]=F=M,L/T^2,
[rho]=M/L.
Logo
l[tfracTrhor] =M,L/T^2M/L =L^2/T^2,
que é dimensão de velocidade ao quadrado.

Resposta

(a) Obtivemos diretamente
rho(x)raizDe<a x^2+De<a u^2;utt = T(x+De<a x)sin[theta(x+De<a x)]-T(x)sin[theta(x)]+F(x),De<a x
(b) A equação diferencial parcial resultante é a equação da onda:
utt=Trho,uxx
(c) Pela análise dimensional l[T/rhor] = L^2/T^2, i.e.\ velocidade ao quadrado.

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