4^a Questão (2,0) :

Um corpo de 2 kg oscila preso a uma mola com uma amplitude inicial de 3 cm . A constante de força da mola é 400 N / m. (a) Se a energia diminui 1 % a cada período, determine a constante de amortecimento linear b. (b) Mostre que a razão entre as amplitudes de duas oscilações sucessivas é constante para um oscilador linearmente amortecido.

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador massa-mola com amortecimento linear, de massa m=2 kg e constante elástica k=400 N/m, que tem amplitude inicial de 3,cm. Pede-se:
a) Determinar o coeficiente de amortecimento b sabendo que a energia mecânica cai 1% a cada período.
b) Mostrar que, num oscilador linear amortecido, a razão entre amplitudes de dois instantes separados de um período é sempre a mesma.

Passo 2

Em um amortecimento leve a solução do movimento é
x(t)=A0,e^-gamma tcos(omegad t+varphi),
onde gamma=tfracb2m e omegadapproxomega0=raiztfrackm. A energia mecânica é propto A(t)^2, logo após um período T temos
E(T)E(0) =l(tfracA0,e^-gamma TA0r)^2 =e^-2gamma T
Pela condição do enunciado E(T)/E(0)=0,99.

Passo 3

Igualando ao decaimento dado,
e^-2gamma T=0,99 Longrightarrow -2gamma T=ln(0,99) Longrightarrow gamma=-12Tln(0,99)
Para amortecimento leve usamos Tapprox2pi/omega0 com omega0=raizk/m.

Passo 4

Calculando o período:
Tapprox2piraizmk =2piraiz2400 =2piraiz0,005 approx0,444 s
Então
gamma=-12cdot0,444ln(0,99)approx0,01131 s^-1
Como gamma=b/(2m), vem
b=2mgamma =2cdot2cdot0,01131 approx0,0452 kg/s

Passo 5

Para mostrar que a razão entre amplitudes sucessivas é constante basta ver que
An+1=A0,e^-gamma (t+nT) =A0,e^-gamma te^-ngamma T,
então
An+1An =A0,e^-gamma te^-ngamma TA0,e^-gamma te^-(n-1)gamma T =e^-gamma T,
que independe de n.

Resposta

(a) bapprox0,0452,kg/s.
(b) A razão entre amplitudes sucessivas é
An+1/An=e^-gamma T, constante.

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