Demonstre a regra do produto:
(A B)i j=sumk=1^2 Ai k Bk j

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, no caso de matrizes 2times2, que a entrada (i,j) do produto AB é dada por
(AB)ij ;=; sumk=1^2 Aik,Bkj
Vamos usar a interpretação dessas matrizes como operadores lineares agindo sobre uma base e1,e2.

Passo 2

Pela definição de representação matricial, a ação de B sobre o vetor de base ej é
B,ej ;=; sumk=1^2 Bkj,ek

Passo 3

Agora aplicamos A ao vetor B,ej:
Al(B,ejr) =A!gl(sumk=1^2 Bkj,ekgr) =sumk=1^2 Bkj,l(A,ekr)

Passo 4

Expandindo A,ek em componentes, temos
A,ek =sumi=1^2 Aik,ei,
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Al(B,ejr) =sumk=1^2 Bkj,gl(sumi=1^2 Aik,eigr) =sumi=1^2l(sumk=1^2Aik,Bkjr)ei

Passo 5

Por definição, os coeficientes da combinação sumi(cdots)ei são as entradas da matriz produto. Portanto
(AB)ij =sumk=1^2Aik,Bkj

Resposta

Demonstra-se que
(AB)ij=sumk=1^2Aik,Bkj

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