Considere uma coroa esférica de raio interno
e externo
com uma densidade de carga
. Determine o campo eléctrico em todos os pontos do espaço.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: a gente tem uma coroa esférica (ou casca) com raio interno
e raio externo
, cuja densidade volumétrica de carga varia com o raio como
O que queremos é calcular o campo elétrico
em todo o espaço: para
, para
e para
.
Conteúdo principal: Lei de Gauss em superfície esférica e cálculo de carga encluída por integração. Vamos precisar
Conteúdo principal: Lei de Gauss em superfície esférica e cálculo de carga encluída por integração. Vamos precisar
- aplicar a simetria esférica,
- usar a Lei de Gauss
, - integrar
num volume esférico para achar .
Passo 2
Região
: dentro do “buraco” da casca não há carga nenhuma. Pela simetria esférica, o campo a uma distância
do centro satisfaz
Mas aqui
(não existe carga para
), logo
Passo 3
Região
: agora a superfície gaussiana de raio
corta parte da casca. Precisamos da carga interna até
:
Aplicando Gauss:
Passo 4
Região
: aqui a superfície inclui toda a casca inteira. Primeiro achamos a carga total:
Então, pela Lei de Gauss para
:
Resposta
Em forma de “piecewise” radial (apontando para fora):