Considere uma coroa esférica de raio interno r1 e externo r2 com uma densidade de carga rho=alpha / r. Determine o campo eléctrico em todos os pontos do espaço.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: a gente tem uma coroa esférica (ou casca) com raio interno rho(r) = alphar e raio externo , cuja densidade volumétrica de carga varia com o raio como
O que queremos é calcular o campo elétrico em todo o espaço: para , para e para .
Conteúdo principal: Lei de Gauss em superfície esférica e cálculo de carga encluída por integração. Vamos precisar
  1. aplicar a simetria esférica,
  2. usar a Lei de Gauss ,
  3. integrar num volume esférico para achar .

Passo 2

Região oint Ecdot dA = E(r),4pi r^2 = Qrm intvarepsilon0 : dentro do “buraco” da casca não há carga nenhuma. Pela simetria esférica, o campo a uma distância E(r),4pi r^2 = 0 Rightarrow E(r) = 0para r do centro satisfaz
Mas aqui (não existe carga para ), logo

Passo 3

Região Qrm int(r) = integralr1^rrho(r'),dV = integralr1^ralphar';4pi r'^2,dr' =4pialphaintegralr1^rr',dr' =2pialphal(r^2 - r1^2r) : agora a superfície gaussiana de raio E(r),4pi r^2 = 2pialphal(r^2 - r1^2r)varepsilon0 Rightarrow E(r) = 2pialpha4pivarepsilon0,r^2 - r1^2r^2 = alpha2varepsilon0(1 - r1^2r^2) corta parte da casca. Precisamos da carga interna até :
Aplicando Gauss:

Passo 4

Região Qrm total = integralr1^r2alphar',4pi r'^2,dr' =2pialphal(r2^2 - r1^2r) : aqui a superfície inclui toda a casca inteira. Primeiro achamos a carga total:
E(r),4pi r^2 = 2pialphal(r2^2 - r1^2r)varepsilon0 Rightarrow E(r) = 2pialpha4pivarepsilon0,r2^2 - r1^2r^2 = alpha2varepsilon0,r2^2 - r1^2r^2
Então, pela Lei de Gauss para :

Resposta

Em forma de “piecewise” radial (apontando para fora):
E(r)= 0, & rr2

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