Uma esfera de raio R está carregada com uma densidade volúmica de carga uniforme rho.
Determine o campo eléctrico criado pela distribuição de carga. Note que as expressões para pontos dentro e fora da esfera são diferentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma esfera de raio $ R $ com uma densidade de carga uniforme $ \rho $. A gente precisa encontrar o campo elétrico gerado por essa distribuição de carga. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil pra calcular campos elétricos com simetria. Precisamos considerar dois casos: quando o ponto onde queremos o campo está dentro da esfera e quando está fora dela, pois as expressões vão ser diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um ponto dentro da esfera, ou seja, a uma distância $ r < R $ do centro. Para isso, imaginamos uma superfície gaussiana que é uma esfera de raio $ r $, concentrada no mesmo centro da distribuição de carga. A simetria esférica nos diz que o campo elétrico $ \vec{E} $ tem a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície e aponta radialmente para fora.
Usando a Lei de Gauss:
r < R
Aqui, $ Q_{dentro} $ é a carga dentro da superfície gaussiana. Como a densidade é uniforme, a carga dentro da esfera de raio $ r $ é:
r
A integral do lado esquerdo fica:
E
Resolvendo para $ E $:
oint E cdot dA = Qdentrovarepsilon0

Passo 3

Agora, vamos olhar para um ponto fora da esfera, ou seja, a uma distância $ r > R $. Novamente, usamos uma superfície gaussiana esférica de raio $ r $. Nesse caso, toda a carga da esfera está dentro da nossa superfície gaussiana, então:
r > R
Aplicando a Lei de Gauss:
r
Resolvendo para $ E $:
Qdentro = rho cdot 43pi R^3

Resposta

O campo elétrico $ E $ criado pela esfera de carga é dado por:
E
Ou seja, dentro da esfera, o campo cresce linearmente com a distância $ r $, e fora da esfera, ele decai com o quadrado da distância.

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