Considere um corpo de forma (geometria) arbitrária. A superfície externa deste corpo é chamada de S e tem área A. O volume deste corpo é chamado de V e tem volume V.
Sabendo que g=(0,0,-g) onde g é o módulo da aceleração gravitacional, verifique que a pressão dependerá apenas da coordenada z, e que a equação diferencial utilizada para determiná-la é dada por:
d pd z=-rho g

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um corpo com uma forma qualquer, cuja superfície externa é chamada de S e tem uma área A. O volume desse corpo é V. Queremos mostrar que a pressão nesse corpo depende só da coordenada z (a altura) e que a equação diferencial que descreve essa pressão é d pd z=-rho g. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática dos fluidos e como a pressão se comporta sob a ação da gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a pressão depende apenas de z. Isso quer dizer que, para qualquer ponto no corpo, a pressão é determinada apenas pela altura desse ponto, não importando onde ele está na horizontal. Isso acontece porque a força da gravidade atua na direção vertical (no eixo z), então só a variação nessa direção afeta a pressão.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a pressão em um fluido em equilíbrio estático (sem movimento) varia com a profundidade devido ao peso do fluido acima. A fórmula que descreve essa variação é dada pela derivada da pressão em relação à altura. A ideia é que a pressão aumenta conforme descemos, porque tem mais peso de fluido acima puxando para baixo.

Passo 4

A equação diferencial que relaciona a taxa de variação da pressão com a altura é d pd z=-rho g. Aqui, rho é a densidade do fluido, g é a aceleração da gravidade, e o sinal negativo indica que a pressão aumenta quando diminuímos z (ou seja, descemos).

Resposta

Concluímos que a pressão no corpo depende apenas da coordenada z, e a equação diferencial que descreve essa relação é:
d pd z=-rho g

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