Considere um corpo de forma (geometria) arbitrária. A superfície externa deste corpo é chamada de
e tem área
. O volume deste corpo é chamado de
e tem volume
.
Sabendo que
onde
é o módulo da aceleração gravitacional, verifique que a pressão dependerá apenas da coordenada
, e que a equação diferencial utilizada para determiná-la é dada por:
Sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um corpo com uma forma qualquer, cuja superfície externa é chamada de
e tem uma área
. O volume desse corpo é
. Queremos mostrar que a pressão nesse corpo depende só da coordenada
(a altura) e que a equação diferencial que descreve essa pressão é
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática dos fluidos e como a pressão se comporta sob a ação da gravidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a pressão depende apenas de
. Isso quer dizer que, para qualquer ponto no corpo, a pressão é determinada apenas pela altura desse ponto, não importando onde ele está na horizontal. Isso acontece porque a força da gravidade atua na direção vertical (no eixo
), então só a variação nessa direção afeta a pressão.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a pressão em um fluido em equilíbrio estático (sem movimento) varia com a profundidade devido ao peso do fluido acima. A fórmula que descreve essa variação é dada pela derivada da pressão em relação à altura. A ideia é que a pressão aumenta conforme descemos, porque tem mais peso de fluido acima puxando para baixo.
Passo 4
A equação diferencial que relaciona a taxa de variação da pressão com a altura é
. Aqui,
é a densidade do fluido,
é a aceleração da gravidade, e o sinal negativo indica que a pressão aumenta quando diminuímos
(ou seja, descemos).
Resposta
Concluímos que a pressão no corpo depende apenas da coordenada
, e a equação diferencial que descreve essa relação é: