Considere um corpo de forma (geometria) arbitrária. A superfície externa deste corpo é chamada de
e tem área
. O volume deste corpo é chamado de
e tem volume
.
Considerando um meio fluido estático (parado), as únicas forças atuantes são a força de pressão e a força gravitacional. Mostre, para um volume arbitrário
neste fluido, que o o balanço de forças pode ser escrito na forma:
Considerando um meio fluido estático (parado), as únicas forças atuantes são a força de pressão e a força gravitacional. Mostre, para um volume arbitrário
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para demonstrar que, em um fluido estático, o equilíbrio das forças pode ser descrito pela equação
Vamos usar conceitos de estática dos fluidos, especificamente o equilíbrio das forças de pressão e da força gravitacional atuando em um volume arbitrário dentro do fluido.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças envolvidas. Em um fluido estático, as únicas forças que atuam são:
- Força de pressão: Devido à pressão do fluido na superfície externa do volume considerado.
- Força gravitacional: Devido ao peso do fluido dentro do volume.
Passo 3
A força de pressão na superfície
pode ser expressa como uma integral de tensão superficial:
Aqui,
é a pressão do fluido,
é o vetor normal à superfície, e
é um elemento de área.
Passo 4
A força gravitacional atuando no volume
é o peso do fluido contido nesse volume. Podemos expressá-la como:
Onde
é a densidade do fluido e
é a aceleração da gravidade.
Passo 5
Como o fluido está em equilíbrio (estático), a soma das forças atuantes deve ser zero. Então, temos:
Substituindo as expressões das forças:
Resposta
Portanto, demonstramos que o balanço de forças para um volume arbitrário em um fluido estático é dado por