Considere um corpo de forma (geometria) arbitrária. A superfície externa deste corpo é chamada de S e tem área A. O volume deste corpo é chamado de V e tem volume V.
Considerando um meio fluido estático (parado), as únicas forças atuantes são a força de pressão e a força gravitacional. Mostre, para um volume arbitrário V neste fluido, que o o balanço de forças pode ser escrito na forma:
-integralS p n d A+integralV rho g d V=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para demonstrar que, em um fluido estático, o equilíbrio das forças pode ser descrito pela equação
-integralS p n d A+integralV rho g d V=0
Vamos usar conceitos de estática dos fluidos, especificamente o equilíbrio das forças de pressão e da força gravitacional atuando em um volume arbitrário dentro do fluido.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças envolvidas. Em um fluido estático, as únicas forças que atuam são:
  1. Força de pressão: Devido à pressão do fluido na superfície externa do volume considerado.
  2. Força gravitacional: Devido ao peso do fluido dentro do volume.

Passo 3

A força de pressão na superfície S pode ser expressa como uma integral de tensão superficial:
Fpressão = -integralS p n d A ã
Aqui, p é a pressão do fluido, n é o vetor normal à superfície, e d A é um elemento de área.

Passo 4

A força gravitacional atuando no volume V é o peso do fluido contido nesse volume. Podemos expressá-la como:
Fgravidade = integralV rho g d V
Onde rho é a densidade do fluido e g é a aceleração da gravidade.

Passo 5

Como o fluido está em equilíbrio (estático), a soma das forças atuantes deve ser zero. Então, temos:
Fpressão + Fgravidade = 0 ã
Substituindo as expressões das forças:
-integralS p n d A + integralV rho g d V = 0

Resposta

Portanto, demonstramos que o balanço de forças para um volume arbitrário em um fluido estático é dado por
-integralS p n d A+integralV rho g d V=0

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