Encontre a energia mecânica do pêndulo simples em coordenadas cartesianas (\hat{i}, \hat{j}) e em coordenadas polares (\hat{r}, \hat{\theta}). Calcule a velocidade do corpo no ponto mais baixo da trajetória, em termos da altura
máxima alcançada pelo corpo.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (tudo que o exercício fornece, explicitado):
  • Pedem a expressão da energia mecânica do pêndulo simples (energia mecânica = energia cinética + energia potencial) escrita:
    • em coordenadas cartesianas \hat{i},\hat{j};
    • em coordenadas polares \hat{r},\hat{\theta}.
  • Pedem também calcular a velocidade do corpo no ponto mais baixo da trajetória, expressa em função da altura máxima alcançada pelo corpo.
  • Dados naturais do pêndulo simples que vamos usar:
    • massa do corpo: m (ponto material);
    • comprimento da haste/corda rígida e sem massa: \ell (constante);
    • aceleração da gravidade: g;
    • o movimento ocorre sem atrito, logo a energia mecânica se conserva.
  • Convenção prática que vou adotar (para simplificar expressões e a comparação com a altura máxima):
    • Origem do potencial e referência vertical: escolho a energia potencial zero no ponto mais baixo da trajetória do pêndulo (isso é comum e facilita escrever V=mgh com h sendo a subida vertical).
  • O enunciado não pede número, apenas expressões em função de m,\ell,g,\theta,\dot\theta ou em função de x,y,\dot x,\dot y, e a velocidade em termos da altura máxima h. Vou fornecer ambas as formas e relacionar h com \theta_{\max}.

Passo 2

Coordenadas e posição no plano (definições) — representação geométrica:
  • Coloco o pivô do pêndulo na origem do sistema cartesiano; escolho \hat{i} horizontal (para a direita) e \hat{j} vertical para cima.
  • Se a massa forma um ângulo \theta(t) com a vertical (ângulo positivo para deslocamento à direita), as coordenadas da massa são
x(t)=\ell\sin\theta(t),\qquad y(t)=-\ell\cos\theta(t).
Explicação rápida: quando \theta=0 a massa está no ponto mais baixo (x,y)=(0,-\ell). A escolha do sinal em y vem de medir y a partir do pivô para cima (logo o mínimo y=-\ell).
  • A altura relativa ao ponto mais baixo (a subida vertical) é
h(\theta)=y(\theta)-y_{\min} = -\ell\cos\theta -(-\ell)=\ell(1-\cos\theta).
Como escolhemos o zero de energia potencial no ponto mais baixo, a energia potencial será V=mgh(\theta)=mg\ell(1-\cos\theta).

Passo 3

Energia mecânica em coordenadas cartesianas (passo a passo, didático):
  • Fórmula geral (sempre válida) para energia mecânica em coordenadas cartesianas:
E=\tfrac{1}{2}m\big(\dot{x}^2+\dot{y}^2\big)+mgy_{\text{ref}},
onde y_{\text{ref}} é a altura vertical medida a partir do ponto onde foi definido V=0. No nosso caso escolhemos V=0 no ponto mais baixo, então y_{\text{ref}}=h(\theta)=\ell(1-\cos\theta).
  • Agora calculamos as velocidades a partir das coordenadas x(t),y(t):
\dot{x}=\ell\cos\theta\,\dot{\theta},\qquad \dot{y}=\ell\sin\theta\,\dot{\theta}.
Explicação: derivando x=\ell\sin\theta \dot{x}=\ell\cos\theta\cdot\dot\theta, etc.
  • O quadrado da velocidade é
\dot{x}^2+\dot{y}^2 = \ell^2\dot{\theta}^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=\ell^2\dot{\theta}^2.
Aqui usei a identidade trigonométrica \cos^2\theta+\sin^2\theta=1.
  • Assim a energia cinética é
T=\tfrac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2.
  • Como já tínhamos V=mg\ell(1-\cos\theta), a energia mecânica total em coordenadas cartesianas (escrita em termos de \theta,\dot\theta) fica
E=\tfrac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2 + mg\ell(1-\cos\theta).
Observação: também se pode apresentar a forma totalmente cartesiana sem eliminar a restrição x^2+y^2=\ell^2:
E=\tfrac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)+mg(y-y_{\min}),\qquad\text{com }x^2+y^2=\ell^2.

Passo 4

Entendendo coordenadas polares e energia — relações úteis (aula rápida):
  • Em coordenadas polares com origem no pivô temos a base \hat{r} (radial, do pivô para a massa) e \hat{\theta} (tangencial, no sentido do aumento de \theta). A posição é \vec{r}=r\hat{r}.
  • Para o pêndulo simples o raio é constante: r(t)=\ell. Assim \dot r=0.
  • Fórmula geral da velocidade em polares:
\vec{v}=\dot{r}\,\hat{r}+r\dot{\theta}\,\hat{\theta}.
Com \dot r=0 fica \vec v = \ell\dot{\theta}\,\hat{\theta} — ou seja, a velocidade é puramente tangencial e de magnitude \ell\dot\theta.
  • Energia cinética em polares então é
T=\tfrac{1}{2}m(\ell\dot{\theta})^2=\tfrac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2,
mesma forma que obtivemos via cartesianas.

Passo 5

Energia potencial em coordenadas polares (explicando h e referência):
  • A posição vertical (altura relativa ao ponto mais baixo) em função de \theta já foi dada:
h(\theta)=\ell(1-\cos\theta).
  • Assim a energia potencial (com zero no ponto mais baixo) é
V=mg\ell(1-\cos\theta).
  • Logo, em coordenadas polares (expressa em termos de \theta,\dot\theta) a energia mecânica total é a mesma:
E=\tfrac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2 + mg\ell(1-\cos\theta).
Comentário didático: perceber que, apesar de mudarmos a base de vetores (cartesiana ou polar), as quantidades físicas (energia total) não mudam; apenas a forma de escrever pode parecer diferente. No pêndulo, a dependência final em \theta,\dot\theta é a mesma.

Passo 6

Conservação de energia e a velocidade no ponto mais baixo — raciocínio:
  • Como não há perdas, a energia mecânica E é constante. Se a massa sobe até uma altura máxima h_{\max} (quando a velocidade instantaneamente é zero), naquele ponto toda a energia é potencial:
E = mg h_{\max}.
  • No ponto mais baixo tomamos V=0, então ali a energia é totalmente cinética:
E = \tfrac{1}{2}m v_{\text{base}}^2,
onde v_{\text{base}} é a velocidade no ponto mais baixo (o que nos pedem).
  • Igualando as duas expressões (conservação de energia entre topo e base):
\tfrac{1}{2}m v_{\text{base}}^2 = mg h_{\max}.
  • Cancelando m e isolando v_{\text{base}} obtemos a expressão clássica de queda/livramento de energia:
v_{\text{base}}=\sqrt{2 g h_{\max}}.
  • Relacionando h_{\max} com o ângulo máximo \theta_{\max}, temos h_{\max}=\ell(1-\cos\theta_{\max}). Substituindo,
v_{\text{base}}=\sqrt{2g\ell(1-\cos\theta_{\max})}.

Passo 7

Resumo intuitivo e dicas para a prova (curta e prática):
  • Na prova: escreva sempre primeiro a posição (cartesiana ou polar), derive \dot{x},\dot{y} ou use \dot r,\dot\theta, calcule v^2 e monte T=\tfrac12 m v^2; escolha onde fica V=0 (ponto mais baixo é conveniente); aplique V=mgh com h dado por \ell(1-\cos\theta).
  • Resultado rápido para decorar: energia total em termos de \theta,\dot\theta
E=\tfrac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2 + mg\ell(1-\cos\theta),
e velocidade no ponto mais baixo
v_{\text{base}}=\sqrt{2g h_{\max}}.
  • Não esqueça: essas fórmulas valem para pêndulo sem perdas e para massa pontual com haste rígida de comprimento \ell.

Resposta

Energia mecânica em coordenadas cartesianas (usando \theta para eliminar a restrição): E=\tfrac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2 + mg\ell(1-\cos\theta).
Energia mecânica em coordenadas polares: E=\tfrac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2 + mg\ell(1-\cos\theta).
Velocidade no ponto mais baixo em função da altura máxima h_{\max}: v_{\text{base}}=\sqrt{2g\,h_{\max}}.

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