Encontre a energia mecânica do pêndulo simples em coordenadas cartesianas
e em coordenadas polares
. Calcule a velocidade do corpo no ponto mais baixo da trajetória, em termos da altura
máxima alcançada pelo corpo.
máxima alcançada pelo corpo.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos (tudo que o exercício fornece, explicitado):
- Pedem a expressão da energia mecânica do pêndulo simples (energia mecânica = energia cinética + energia potencial) escrita:
- em coordenadas cartesianas
; - em coordenadas polares
.
- em coordenadas cartesianas
- Pedem também calcular a velocidade do corpo no ponto mais baixo da trajetória, expressa em função da altura máxima alcançada pelo corpo.
- Dados naturais do pêndulo simples que vamos usar:
- massa do corpo:
(ponto material); - comprimento da haste/corda rígida e sem massa:
(constante); - aceleração da gravidade:
; - o movimento ocorre sem atrito, logo a energia mecânica se conserva.
- massa do corpo:
- Convenção prática que vou adotar (para simplificar expressões e a comparação com a altura máxima):
- Origem do potencial e referência vertical: escolho a energia potencial zero no ponto mais baixo da trajetória do pêndulo (isso é comum e facilita escrever
com sendo a subida vertical).
- Origem do potencial e referência vertical: escolho a energia potencial zero no ponto mais baixo da trajetória do pêndulo (isso é comum e facilita escrever
- O enunciado não pede número, apenas expressões em função de
ou em função de , e a velocidade em termos da altura máxima . Vou fornecer ambas as formas e relacionar com .
Passo 2
Coordenadas e posição no plano (definições) — representação geométrica:
- Coloco o pivô do pêndulo na origem do sistema cartesiano; escolho
horizontal (para a direita) e vertical para cima. - Se a massa forma um ângulo
com a vertical (ângulo positivo para deslocamento à direita), as coordenadas da massa são
Explicação rápida: quando
a massa está no ponto mais baixo
. A escolha do sinal em
vem de medir
a partir do pivô para cima (logo o mínimo
).
- A altura relativa ao ponto mais baixo (a subida vertical) é
Como escolhemos o zero de energia potencial no ponto mais baixo, a energia potencial será
.
Passo 3
Energia mecânica em coordenadas cartesianas (passo a passo, didático):
- Fórmula geral (sempre válida) para energia mecânica em coordenadas cartesianas:
onde
é a altura vertical medida a partir do ponto onde foi definido
. No nosso caso escolhemos
no ponto mais baixo, então
.
- Agora calculamos as velocidades a partir das coordenadas
:
Explicação: derivando
dá
, etc.
- O quadrado da velocidade é
Aqui usei a identidade trigonométrica
.
- Assim a energia cinética é
- Como já tínhamos
, a energia mecânica total em coordenadas cartesianas (escrita em termos de ) fica
Observação: também se pode apresentar a forma totalmente cartesiana sem eliminar a restrição
:
Passo 4
Entendendo coordenadas polares e energia — relações úteis (aula rápida):
- Em coordenadas polares com origem no pivô temos a base
(radial, do pivô para a massa) e (tangencial, no sentido do aumento de ). A posição é . - Para o pêndulo simples o raio é constante:
. Assim . - Fórmula geral da velocidade em polares:
Com
fica
— ou seja, a velocidade é puramente tangencial e de magnitude
.
- Energia cinética em polares então é
mesma forma que obtivemos via cartesianas.
Passo 5
Energia potencial em coordenadas polares (explicando
e referência):
- A posição vertical (altura relativa ao ponto mais baixo) em função de
já foi dada:
- Assim a energia potencial (com zero no ponto mais baixo) é
- Logo, em coordenadas polares (expressa em termos de
) a energia mecânica total é a mesma:
Comentário didático: perceber que, apesar de mudarmos a base de vetores (cartesiana ou polar), as quantidades físicas (energia total) não mudam; apenas a forma de escrever pode parecer diferente. No pêndulo, a dependência final em
é a mesma.
Passo 6
Conservação de energia e a velocidade no ponto mais baixo — raciocínio:
- Como não há perdas, a energia mecânica
é constante. Se a massa sobe até uma altura máxima (quando a velocidade instantaneamente é zero), naquele ponto toda a energia é potencial:
- No ponto mais baixo tomamos
, então ali a energia é totalmente cinética:
onde
é a velocidade no ponto mais baixo (o que nos pedem).
- Igualando as duas expressões (conservação de energia entre topo e base):
- Cancelando
e isolando obtemos a expressão clássica de queda/livramento de energia:
- Relacionando
com o ângulo máximo , temos . Substituindo,
Passo 7
Resumo intuitivo e dicas para a prova (curta e prática):
- Na prova: escreva sempre primeiro a posição (cartesiana ou polar), derive
ou use , calcule e monte ; escolha onde fica (ponto mais baixo é conveniente); aplique com dado por . - Resultado rápido para decorar: energia total em termos de
e velocidade no ponto mais baixo
- Não esqueça: essas fórmulas valem para pêndulo sem perdas e para massa pontual com haste rígida de comprimento
.
Resposta
Energia mecânica em coordenadas cartesianas (usando
para eliminar a restrição):
Energia mecânica em coordenadas polares:
Velocidade no ponto mais baixo em função da altura máxima
: