Considere, no corpo ordenado R, os conjuntos A=y in R: 0 e B=y in R: 0 <= y <= 1. Encontre, sup (A), inf (A), inf (B) e sup (B).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois conjuntos no conjunto dos números reais R. O conjunto A inclui todos os números entre 0 e 1, mas sem incluir 0 e 1. Já o conjunto B inclui todos os números entre 0 e 1, incluindo 0 e 1. Nosso objetivo aqui é encontrar o supremo ( sup) e o ínfimo ( inf) desses conjuntos. Para isso, vamos entender o que significam supremo e ínfimo.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o supremo. O supremo de um conjunto é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. Ele é como o “limite máximo” que o conjunto pode alcançar.
Vamos encontrar o sup(A). O conjunto A = y in R : 0 < y < 1 contém todos os números maiores que 0 e menores que 1, mas não inclui 0 e nem 1. Mesmo assim, você pode se aproximar de 1 sem nunca realmente chegar lá. Portanto, o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de A é 1.

Passo 3

Agora, vamos para o ínfimo. O ínfimo de um conjunto é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto. É como o “limite mínimo” que o conjunto pode alcançar.
Vamos encontrar o inf(A). No conjunto A = y in R : 0 < y < 1, os números se aproximam de 0, mas nunca chegam lá. Então, o maior número que é menor ou igual a todos os elementos de A é 0.

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para o conjunto B = y in R : 0 <= y <= 1. Primeiro, o inf(B). Como B inclui o 0, que é o menor número no conjunto, o ínfimo de B é 0.

Passo 5

Por fim, o sup(B). O conjunto B também inclui o 1, que é o maior número no conjunto. Então, o supremo de B é 1.

Resposta

sup(A) = 1, inf(A) = 0, inf(B) = 0 e sup(B) = 1.

Exercícios relacionados