Encontre o valor exato da integral definida abaixo:
Passo 1
Estamos com a integral definida de cálculo de uma função racional:
. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, já que o denominador depende de
e aparece elevado à potência 3.
Passo 2
Vamos fazer a substituição típica para casos em que temos
no denominador. Definimos
Derivando ambos os lados em relação a
Passo 3
Precisamos também trocar os limites de integração. Quando
, temos
$$u = 3\cdot1^{2} - 1 = 2.
\int_{1}^{3} \frac{x}{(3x{2}-1){3}},dx = \int_{2}^{26} \frac{1}{(u)^{3}} \cdot \frac{du}{6} = \frac{1}{6} \int_{2}^{26} u^{-3},du.
$$
Passo 4
Agora calculamos a antiderivada de
. Sabemos que
$$\int u^{-3},du = \frac{u^{-2}}{-2} = -\tfrac12 u^{-2}.
\frac{1}{6} \int_{2}^{26} u^{-3},du = \frac{1}{6} \Bigl[-\tfrac12 u{-2}\Bigr]_{2}{26} = -\frac{1}{12} \Bigl[u{-2}\Bigr]_{2}{26}.
$$
Passo 5
Basta agora avaliar em
e
, e simplificar:
Fazendo o cálculo dentro dos parênteses:
Então o resultado final é