Encontre o valor exato da integral definida abaixo:
integral1^3 x d x(3 x^2-1)^3

Passo 1

Estamos com a integral definida de cálculo de uma função racional: integral1^3 x(3x^2-1)^3,dx. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, já que o denominador depende de x^2 e aparece elevado à potência 3.

Passo 2

Vamos fazer a substituição típica para casos em que temos 3x^2-1 no denominador. Definimos
u = 3x^2 - 1
Derivando ambos os lados em relação a x, obtemos
du = 6x,dx Rightarrow x,dx = du6

Passo 3

Precisamos também trocar os limites de integração. Quando x=1, temos
$$u = 3\cdot1^{2} - 1 = 2.
u = 3cdot1^2 - 1 = 2 u = 3\cdot3^{2} - 1 = 26.
x=3
\int_{1}^{3} \frac{x}{(3x{2}-1){3}},dx = \int_{2}^{26} \frac{1}{(u)^{3}} \cdot \frac{du}{6} = \frac{1}{6} \int_{2}^{26} u^{-3},du.
$$

Passo 4

Agora calculamos a antiderivada de u^-3. Sabemos que
$$\int u^{-3},du = \frac{u^{-2}}{-2} = -\tfrac12 u^{-2}.
integral u^-3,du = u^-2-2 = -tfrac12 u^-2
\frac{1}{6} \int_{2}^{26} u^{-3},du = \frac{1}{6} \Bigl[-\tfrac12 u{-2}\Bigr]_{2}{26} = -\frac{1}{12} \Bigl[u{-2}\Bigr]_{2}{26}.
$$

Passo 5

Basta agora avaliar em u=26 e u=2, e simplificar:
-112l(26^-2 - 2^-2r) = -112l(1676 - 14r)
Fazendo o cálculo dentro dos parênteses:
1676 - 14 = 1 - 169676 = -168676 = -42169
Então o resultado final é
-112 l(-tfrac42169r) = 4212cdot169 = 7338

Resposta

7338

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