Encontre a solução geral de cada equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
(2 x sin y cos y) y^prime=4 x^2+sin ^2 y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
(2xsin ycos y),y' = 4x^2 + sin^2 y
O conteúdo é transformação por substituição para reduzir a uma equação linear em v(x). Vamos usar v = sin^2 y.

Passo 2

Definimos v = sin^2 y. Então
dvdx = 2sin ycos y,y'
Na equação original, temos 2xsin ycos y,y' = 4x^2 + sin^2 y. Dividindo ambos os lados por x e substituindo, obtemos
dvdx = 4x + vx

Passo 3

Agora reconhecemos que
dvdx - 1xv = 4x
é uma equação linear em v. O fator integrante é
mu(x) = e^integral(-1/x)dx = 1x
Multiplicando a equação por 1/x obtemos
ddxl(vxr) = 4

Passo 4

Integramos ambos os lados:
vx = 4x + C,
onde C é constante de integração. Assim
v = 4x^2 + Cx
Lembrando que v = sin^2 y, concluímos

Passo 5

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