Considere um corpo preso a uma mola com movimento descrito pela expressão
).
(a) Qual é o módulo da velocidade máxima do corpo?
(b) Em que instante o corpo possui esta velocidade?
(c) Qual é o módulo da aceleração máxima do corpo?
(d) Quanto tempo depois de
, ocorre pela primeira vez uma aceleração de magnitude máxima?
(R: (a)
; (b)
;
(c)
;
(d)
).
(a) Qual é o módulo da velocidade máxima do corpo?
(b) Em que instante o corpo possui esta velocidade?
(c) Qual é o módulo da aceleração máxima do corpo?
(d) Quanto tempo depois de
(R: (a)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado dá a posição do corpo presa a uma mola como função do tempo:
Perguntas do enunciado:
- (a) Qual é o módulo da velocidade máxima do corpo?
- (b) Em que instante o corpo possui essa velocidade máxima?
- (c) Qual é o módulo da aceleração máxima do corpo?
- (d) Quanto tempo depois de
ocorre, pela primeira vez, uma aceleração de magnitude máxima?
Informações relevantes dadas:
onde
é a amplitude da oscilação e
é a frequência angular.
Passo 2
Primeiro passo prático: passar para unidades do Sistema Internacional, porque as fórmulas de velocidade e aceleração ficam mais claras em metros e segundos.
Converter a amplitude:
Converter a amplitude:
Já
está em
, então mantemos
.
Vou agora relembrar duas fórmulas padrão do movimento harmônico simples (MHS) que vamos usar frequentemente:
Explicação rápida do porquê: para
temos
. O módulo de
é máximo quando
, então
. Para a aceleração
, o módulo é máximo quando
, daí
.
Passo 3
Calcular a velocidade máxima usando a fórmula
.
Substituindo os valores (em SI):
Como o enunciado dá a resposta pedida em
, converto:
Interpretação didática: a velocidade máxima não depende de tempo, apenas da amplitude e da frequência angular. Para lembrar na prova: primeiro converta amplitude para metros, depois use
.
Passo 4
Determinar o instante em que o corpo atinge essa velocidade máxima.
Partimos de
. O módulo
é máximo quando
. As soluções para
são
O primeiro instante positivo (menor
) corresponde a
, então
Agora substituo
:
Arredondando razoavelmente para a prova:
.
Observação didática: não confunda com o instante em que a velocidade é zero (esses são
). Para achar máximos de velocidade, procure quando o seno atinge ±1.
Passo 5
Agora calculo a aceleração máxima usando
.
Calculo:
Arredondando para duas casas significativas compatíveis com os dados:
.
Didática curta: em MHS a aceleração máxima cresce com o quadrado da frequência angular — ou seja, oscilações mais rápidas geram acelerações bem maiores.
Passo 6
Determinar quando, após
, ocorre pela primeira vez uma aceleração de magnitude máxima.
Da expressão
, o módulo
é máximo quando
. As soluções são
Em
temos
, que já fornece uma aceleração de magnitude máxima no instante inicial. A pergunta pede “quanto tempo depois de
ocorre pela primeira vez” — isto é, o primeiro instante positivo (estritamente maior que zero) quando a magnitude volta a ser máxima. Esse corresponde a
:
Substituindo:
Arredondando:
.
Observação prática: a sequência dos instantes de máximo de aceleração é
— são os tempos em que a massa está nos extremos da oscilação (
).
Passo 7
Recapitulando os resultados numéricos com as unidades corretas e arredondamentos apropriados:
-
. - instante do primeiro máximo de velocidade:
. -
. - primeiro tempo após
em que a aceleração tem magnitude máxima: .
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)