Considere um corpo preso a uma mola com movimento descrito pela expressão x(\mathrm{t})=(5,0 \mathrm{~cm}) \cos [(9,9 \mathrm{rad} / \mathrm{s}) \mathrm{t}] ).
(a) Qual é o módulo da velocidade máxima do corpo?
(b) Em que instante o corpo possui esta velocidade?
(c) Qual é o módulo da aceleração máxima do corpo?
(d) Quanto tempo depois de t=0 \mathrm{~s}, ocorre pela primeira vez uma aceleração de magnitude máxima?
(R: (a) 49,5 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}; (b) 1,59 \mathrm{~s};
(c) 4,9 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2};
(d) 0,317 \mathrm{~s} ).

Passo 1

O enunciado dá a posição do corpo presa a uma mola como função do tempo:
x(t) = (5,0\\ \mathrm{cm})\cos\bigl[(9,9\\ \mathrm{rad/s})\,t\bigr].
Perguntas do enunciado:
  1. (a) Qual é o módulo da velocidade máxima do corpo?
  2. (b) Em que instante o corpo possui essa velocidade máxima?
  3. (c) Qual é o módulo da aceleração máxima do corpo?
  4. (d) Quanto tempo depois de t=0\\ \mathrm{s} ocorre, pela primeira vez, uma aceleração de magnitude máxima?
Informações relevantes dadas:
A = 5,0\\ \mathrm{cm},\qquad \omega = 9,9\\ \mathrm{rad/s},
onde A é a amplitude da oscilação e \omega é a frequência angular.

Passo 2

Primeiro passo prático: passar para unidades do Sistema Internacional, porque as fórmulas de velocidade e aceleração ficam mais claras em metros e segundos.
Converter a amplitude:
A = 5,0\\ \mathrm{cm} = 0,05\\ \mathrm{m}.
\omega está em \mathrm{rad/s}, então mantemos \omega = 9,9\\ \mathrm{rad/s}.
Vou agora relembrar duas fórmulas padrão do movimento harmônico simples (MHS) que vamos usar frequentemente:
v_{\max} = \omega A,
a_{\max} = \omega^{2} A.
Explicação rápida do porquê: para x(t)=A\cos(\omega t) temos v(t)=-A\omega\sin(\omega t). O módulo de v(t) é máximo quando |\sin(\omega t)|=1, então v_{\max}=A\omega. Para a aceleração a(t)=-A\omega^{2}\cos(\omega t), o módulo é máximo quando |\cos(\omega t)|=1, daí a_{\max}=A\omega^{2}.

Passo 3

Calcular a velocidade máxima usando a fórmula \;v_{\max}=\omega A\;.
Substituindo os valores (em SI):
v_{\max} = \omega A = 9,9\cdot 0,05 = 0,495\\ \mathrm{m/s}.
Como o enunciado dá a resposta pedida em \mathrm{cm/s}, converto:
0,495\\ \mathrm{m/s} = 49,5\\ \mathrm{cm/s}.
Interpretação didática: a velocidade máxima não depende de tempo, apenas da amplitude e da frequência angular. Para lembrar na prova: primeiro converta amplitude para metros, depois use v_{\max}=\omega A.

Passo 4

Determinar o instante em que o corpo atinge essa velocidade máxima.
Partimos de v(t)=-A\omega\sin(\omega t). O módulo |v(t)| é máximo quando |\sin(\omega t)|=1. As soluções para \sin(\omega t)=\pm 1 são
\omega t = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
O primeiro instante positivo (menor t>0) corresponde a k=0, então
t = \frac{\pi}{2\omega}.
Agora substituo \omega:
t = \frac{\pi}{2\cdot 9,9} = \frac{\pi}{19,8}\approx 0,1587\\ \mathrm{s}.
Arredondando razoavelmente para a prova: t\approx 0,159\\ \mathrm{s}.
Observação didática: não confunda com o instante em que a velocidade é zero (esses são \cos(\omega t)=\pm 1). Para achar máximos de velocidade, procure quando o seno atinge ±1.

Passo 5

Agora calculo a aceleração máxima usando \;a_{\max}=\omega^{2}A\;.
Calculo:
\omega^{2} = (9,9)^{2} = 98,01,
a_{\max} = 98,01\cdot 0,05 = 4,9005\\ \mathrm{m/s^{2}} \approx 4,90\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Arredondando para duas casas significativas compatíveis com os dados: a_{\max}\approx 4,9\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Didática curta: em MHS a aceleração máxima cresce com o quadrado da frequência angular — ou seja, oscilações mais rápidas geram acelerações bem maiores.

Passo 6

Determinar quando, após t=0, ocorre pela primeira vez uma aceleração de magnitude máxima.
Da expressão a(t)=-A\omega^{2}\cos(\omega t), o módulo |a(t)| é máximo quando |\cos(\omega t)|=1. As soluções são
\omega t = k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Em k=0 temos t=0, que já fornece uma aceleração de magnitude máxima no instante inicial. A pergunta pede “quanto tempo depois de t=0 ocorre pela primeira vez” — isto é, o primeiro instante positivo (estritamente maior que zero) quando a magnitude volta a ser máxima. Esse corresponde a k=1:
t = \frac{\pi}{\omega}.
Substituindo:
t = \frac{\pi}{9,9} \approx 0,3172\\ \mathrm{s}.
Arredondando: t\approx 0,317\\ \mathrm{s}.
Observação prática: a sequência dos instantes de máximo de aceleração é t=0,\; \pi/\omega,\; 2\pi/\omega,\ldots — são os tempos em que a massa está nos extremos da oscilação ( x=\pm A).

Passo 7

Recapitulando os resultados numéricos com as unidades corretas e arredondamentos apropriados:
  • v_{\max}=49,5\\ \mathrm{cm/s}.
  • instante do primeiro máximo de velocidade: t=\dfrac{\pi}{2\omega}\approx 0,159\\ \mathrm{s}.
  • a_{\max}=4,90\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • primeiro tempo após t=0 em que a aceleração tem magnitude máxima: t=\dfrac{\pi}{\omega}\approx 0,317\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) 49,5\\ \mathrm{cm/s}
(b) 0,159\\ \mathrm{s}
(c) 4,9\\ \mathrm{m/s^{2}}
(d) 0,317\\ \mathrm{s}

Exercícios relacionados