Um sistema massa-mola possui massa
, constante de força
e amortecimento
. Para esse oscilador subamortecido, quanto tempo levaria até que a amplitude da oscilação diminuísse
da amplitude inicial?
(R: 50 min ).
(R: 50 min ).
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa. Dados:
,
,
. Pergunta: quanto tempo leva até que a amplitude da oscilação diminua para
da amplitude inicial (isto é, até que a amplitude seja
vezes a inicial)?
Passo 2
Esclarecendo o modelo e as fórmulas que vamos usar (passo-a-passo, sem pular etapas). Um sistema massa-mola amortecido obedece à equação diferencial
As soluções depend da relação entre os coeficientes; no caso subamortecido (que o enunciado diz ser o caso) as raízes da equação característica são complexas e a solução tem a forma
onde
é a taxa de decaimento exponencial do envelope da amplitude e
é a frequência angular amortecida;
é a frequência natural não amortecida. A parte importante para a pergunta é o envelope da amplitude:
ou seja, a amplitude em função do tempo decai exponencialmente com taxa
. Agora vamos calcular
com os dados fornecidos.
Passo 3
Calculemos
. Usando
e os valores dados:
Para confirmar que o caso é realmente subamortecido, calculemos
:
Como
, temos
e portanto
é real — logo o sistema é subamortecido como declarado.
Passo 4
Agora usamos o envelope para achar o tempo
em que a amplitude atinge
da inicial. Escrevemos
Cancelando
dos dois lados e resolvendo para
:
Passo 5
Substituímos
e calculamos numericamente passo a passo. Primeiro o logaritmo:
Agora
Para converter para minutos dividimos por
:
Passo 6
Interpretação e arredondamento final: o tempo necessário para a amplitude cair para
da inicial é aproximadamente
, que arredondando razoavelmente dá
. Parabéns — é surpreendentemente longo porque o amortecimento
é muito pequeno.