Um sistema massa-mola possui massa \mathrm{m}=5 \mathrm{~kg}, constante de força \mathrm{k}=120 \mathrm{N} / \mathrm{m} e amortecimento \mathrm{b}=0,01 \mathrm{Ns} / \mathrm{m}. Para esse oscilador subamortecido, quanto tempo levaria até que a amplitude da oscilação diminuísse 5 \% da amplitude inicial?
(R: 50 min ).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa. Dados: \mathrm{m}=5\\ \mathrm{kg}, \mathrm{k}=120\\ \mathrm{N/m}, \mathrm{b}=0{,}01\\ \mathrm{Ns/m}. Pergunta: quanto tempo leva até que a amplitude da oscilação diminua para 5\% da amplitude inicial (isto é, até que a amplitude seja 0{,}05 vezes a inicial)?

Passo 2

Esclarecendo o modelo e as fórmulas que vamos usar (passo-a-passo, sem pular etapas). Um sistema massa-mola amortecido obedece à equação diferencial
m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0.
As soluções depend da relação entre os coeficientes; no caso subamortecido (que o enunciado diz ser o caso) as raízes da equação característica são complexas e a solução tem a forma
x(t)=A_0 e^{-\gamma t}\cos(\omega_d t+\varphi),
onde
\gamma=\frac{b}{2m}
é a taxa de decaimento exponencial do envelope da amplitude e
\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}, \qquad \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}
é a frequência angular amortecida; \omega_0 é a frequência natural não amortecida. A parte importante para a pergunta é o envelope da amplitude:
A(t)=A_0 e^{-\gamma t},
ou seja, a amplitude em função do tempo decai exponencialmente com taxa \gamma. Agora vamos calcular \gamma com os dados fornecidos.

Passo 3

Calculemos \gamma. Usando \gamma=\dfrac{b}{2m} e os valores dados:
\gamma=\frac{0{,}01}{2\cdot 5}=\frac{0{,}01}{10}=0{,}001\\ \mathrm{s^{-1}}.
Para confirmar que o caso é realmente subamortecido, calculemos \omega_0:
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{120}{5}}=\sqrt{24}\approx 4{,}898979\\ \mathrm{s^{-1}}.
Como \gamma=0{,}001\ll\omega_0, temos \gamma^2\ll\omega_0^2 e portanto \omega_d é real — logo o sistema é subamortecido como declarado.

Passo 4

Agora usamos o envelope para achar o tempo t em que a amplitude atinge 5\% da inicial. Escrevemos
A(t)=A_0 e^{-\gamma t}=0{,}05\,A_0.
Cancelando A_0 dos dois lados e resolvendo para t:
e^{-\gamma t}=0{,}05
-\gamma t=\ln(0{,}05)
t=-\frac{\ln(0{,}05)}{\gamma}.

Passo 5

Substituímos \gamma=0{,}001\\ \mathrm{s^{-1}} e calculamos numericamente passo a passo. Primeiro o logaritmo:
\ln(0{,}05)=\ln\!\big(5\times 10^{-2}\big)=\ln(5)+\ln(10^{-2})=1{,}609437912-4{,}605170186=-2{,}995732274.
Agora
t=-\frac{-2{,}995732274}{0{,}001}=2995{,}732274\\ \mathrm{s}.
Para converter para minutos dividimos por 60:
t=\frac{2995{,}732274}{60}\approx 49{,}928870\\ \mathrm{min}.

Passo 6

Interpretação e arredondamento final: o tempo necessário para a amplitude cair para 5\% da inicial é aproximadamente 49{,}93\\ \mathrm{min}, que arredondando razoavelmente dá 50\\ \mathrm{min}. Parabéns — é surpreendentemente longo porque o amortecimento b é muito pequeno.

Resposta

\,50\\ \mathrm{min}

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