Considere uma pessoa em uma embarcação que oscila para cima e para baixo executando um MHS. O deslocamento vertical y da embarcação é:
y=(1,2 m) \cos \left(\frac{t}{2 s}+\frac{\pi}{6}\right)
(a) Determine a amplitude A , a frequência f , a frequência angular \omega, a constante de fase \delta, e o período T do movimento.
(b) Qual é a posição da embarcação no instante \mathrm{t}=1 \mathrm{~s} ?
(c) Determine a velocidade e a aceleração em função do tempo.
(d) Determine a posição, a velocidade e a aceleração iniciais da embarcação.
(R: (a) 1,2 \mathrm{~m} ; 0,0796 \mathrm{~Hz} ;(1 / 2) \mathrm{rad} / \mathrm{s} ;(\pi / 2) \mathrm{rad} ; 12,6 \mathrm{~s};
(b) 0,624 \mathrm{~m};
(c) V_{y}=(-0,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \operatorname{sen}\left(\frac{t}{2 s}+\frac{\pi}{6}\right) ; \quad a_{y}=\left(-0,3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \cos \left(\frac{t}{2 s}+\frac{\pi}{6}\right)
(d) y_{0}=(1,04 \mathrm{~m}) ; V_{y 0}=(-0,30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) ; \quad a_{y 0}=\left(-0,26 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right).)

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede e o que já temos):
O enunciado dá o deslocamento vertical da embarcação como
y=(1,2\\ \mathrm{m})\cos\!\left(\frac{t}{2\\ \mathrm{s}}+\frac{\pi}{6}\right).
Perguntas:
  • (a) Determinar a amplitude A, a frequência f, a frequência angular \omega, a constante de fase \delta e o período T.
  • (b) Calcular a posição y no instante t=1\\ \mathrm{s}.
  • (c) Determinar a velocidade V_{y}(t) e a aceleração a_{y}(t) em função do tempo.
  • (d) Determinar a posição, velocidade e aceleração iniciais ( t=0).
Dados relevantes extraídos do enunciado:
A=1,2\\ \mathrm{m}\\ \text{(aparece multiplicando o cosseno)},\quad \text{argumento do cosseno }=\frac{t}{2\\ \mathrm{s}}+\frac{\pi}{6}.
Do argumento identificamos que o coeficiente de t é \dfrac{1}{2\\ \mathrm{s}}=\dfrac{1}{2}\\ \mathrm{s}^{-1} (isto será a frequência angular \omega) e a constante adicionada é \dfrac{\pi}{6} (fase inicial).

Passo 2

Identificando a amplitude e a constante de fase (explicando bem o que são):
  • Amplitude: em um MHS dado por \;y=A\cos(\omega t+\delta)\;, o número que multiplica o cosseno é a amplitude, ou seja o deslocamento máximo em módulo. Aqui vemos A=1,2\\ \mathrm{m}.
    Explicação curta: amplitude é o “tamanho” da oscilação — quão alto/baixo a embarcação chega a partir do ponto de equilíbrio.
  • Constante de fase \delta: é o termo que aparece somando dentro do argumento do cosseno e desloca o instante em que a função passa pelos seus pontos característicos. Aqui \delta=\dfrac{\pi}{6}\\ \text{rad}.

Passo 3

Determinando a frequência angular \omega e explicando o motivo:
A forma padrão é \;y=A\cos(\omega t+\delta)\;. Comparando com o dado,
\omega=\frac{1}{2}\\ \mathrm{s}^{-1}.
Unidades: \omega tem unidades de radiano por segundo ( \mathrm{rad/s}), portanto escrevemos
\omega=\frac{1}{2}\\ \mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}.
Breve aula: \omega indica a rapidez angular da oscilação — quantos radianos a fase percorre por segundo. Aqui cada segundo incrementa o argumento em 0,5 radiano.

Passo 4

Relação entre \omega, frequência f e período T e cálculo numérico:
As relações fundamentais em MHS são
\omega=2\pi f
e
T=\frac{1}{f}=\frac{2\pi}{\omega}.
Aplicando \omega=\dfrac{1}{2}:
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1/2}{2\pi}=\frac{1}{4\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx 0,0796\\ \mathrm{Hz}.
T=\frac{2\pi}{\omega}= \frac{2\pi}{1/2}=4\pi\\ \mathrm{s}\approx 12,6\\ \mathrm{s}.
Explicação: f é o número de oscilações por segundo; T é o tempo para completar uma oscilação completa.

Passo 5

Calculando a posição no instante t=1\\ \mathrm{s} (passo a passo numérico, sem pular etapas):
Usamos a expressão dada:
y(1\\ \mathrm{s})=1,2\cos\!\left(\frac{1\\ \mathrm{s}}{2\\ \mathrm{s}}+\frac{\pi}{6}\right).
Simplificando o argumento:
\frac{1\\ \mathrm{s}}{2\\ \mathrm{s}}=\frac{1}{2}=0,5\\ \text{rad}.
Somando com a fase:
0,5+\frac{\pi}{6}\approx 0,5+0,5235988\approx 1,0235988\\ \text{rad}.
Agora calculamos o cosseno (faça isso na prova com uma calculadora; aqui mostro o valor):
\cos(1,0235988)\approx 0,520.
Multiplicando pela amplitude:
y(1\\ \mathrm{s})\approx 1,2\times 0,520\approx 0,624\\ \mathrm{m}.
Observação: usei aproximação do cosseno; resultado arredondado a três algarismos significativos fica 0,624\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Derivação da velocidade: regra da cadeia e fórmula usada (aula curta):
Velocidade é a derivada do deslocamento em relação ao tempo:
V_{y}(t)=\frac{dy}{dt}.
Se y(t)=A\cos(\omega t+\delta), aplicamos a derivada da função cosseno e a regra da cadeia:
  • derivada de \cos(u) em relação a u é -\sin(u),
  • multiplicamos pelo derivado interno du/dt=\omega.
    Logo
V_{y}(t)=-A\omega\sin(\omega t+\delta).
Explicação: a regra da cadeia diz que derivamos a função externa e multiplicamos pela derivada do argumento interno.

Passo 7

Aplicando os valores para obter V_{y}(t):
Usando A=1,2 e \omega=\dfrac{1}{2}:
V_{y}(t) = -1,2\cdot\frac{1}{2}\sin\!\left(\frac{t}{2\\ \mathrm{s}}+\frac{\pi}{6}\right) = -0,6\\ \mathrm{m/s}\;\sin\!\left(\frac{t}{2\\ \mathrm{s}}+\frac{\pi}{6}\right).
Unidade: metros por segundo.

Passo 8

Derivação da aceleração: novamente regra da cadeia (aula curta):
Aceleração é a derivada da velocidade:
a_{y}(t)=\frac{dV_{y}}{dt}=\frac{d^{2}y}{dt^{2}}.
Derivando V_{y}(t)=-A\omega\sin(\omega t+\delta):
  • derivada de \sin(u) é \cos(u),
  • aplicamos regra da cadeia multiplicando por \omega,
  • aparece um sinal negativo extra porque derivada de -\sin é -\cos.
    Portanto
a_{y}(t)=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\delta).

Passo 9

Aplicando os valores para obter a_{y}(t):
Com A=1,2 e \omega=\dfrac{1}{2}:
\omega^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}=0,25\\ \mathrm{s}^{-2}.
Logo
a_{y}(t)=-1,2\cdot 0,25\cos\!\left(\frac{t}{2\\ \mathrm{s}}+\frac{\pi}{6}\right) = -0,3\\ \mathrm{m/s^{2}}\;\cos\!\left(\frac{t}{2\\ \mathrm{s}}+\frac{\pi}{6}\right).

Passo 10

Cálculo das condições iniciais ( t=0) passo a passo:
Posição inicial:
y(0)=1,2\cos\!\left(0+\frac{\pi}{6}\right)=1,2\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right).
Sabendo \cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660254,
y(0)\approx 1,2\times 0,8660254\approx 1,03923\\ \mathrm{m}\approx 1,04\\ \mathrm{m}.
Velocidade inicial:
V_{y}(0)=-0,6\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right).
Sabendo \sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2},
V_{y}(0)=-0,6\times\frac{1}{2}=-0,3\\ \mathrm{m/s}.
Aceleração inicial:
a_{y}(0)=-0,3\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=-0,3\times 0,8660254\approx -0,2598\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx -0,26\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

(a) A=1,2\\ \mathrm{m};\quad f=\dfrac{1}{4\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx 0,0796\\ \mathrm{Hz};\quad \omega=\dfrac{1}{2}\\ \mathrm{rad/s};\quad \delta=\dfrac{\pi}{6}\\ \mathrm{rad};\quad T=4\pi\\ \mathrm{s}\approx 12,6\\ \mathrm{s}
(b) y(1\\ \mathrm{s})\approx 0,624\\ \mathrm{m}
(c) V_{y}(t)=-0,6\\ \mathrm{m/s}\;\sin\!\left(\dfrac{t}{2\\ \mathrm{s}}+\dfrac{\pi}{6}\right);\quad a_{y}(t)=-0,3\\ \mathrm{m/s^{2}}\;\cos\!\left(\dfrac{t}{2\\ \mathrm{s}}+\dfrac{\pi}{6}\right)
(d) y(0)\approx 1,04\\ \mathrm{m};\quad V_{y}(0)=-0,30\\ \mathrm{m/s};\quad a_{y}(0)\approx -0,26\\ \mathrm{m/s^{2}}

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