Considere uma pessoa em uma embarcação que oscila para cima e para baixo executando um MHS. O deslocamento vertical y da embarcação é:
(a) Determine a amplitude A , a frequência f , a frequência angular
, a constante de fase
, e o período T do movimento.
(b) Qual é a posição da embarcação no instante
?
(c) Determine a velocidade e a aceleração em função do tempo.
(d) Determine a posição, a velocidade e a aceleração iniciais da embarcação.
(R: (a)
;
(b)
;
(c)
(d)
.)
(b) Qual é a posição da embarcação no instante
(c) Determine a velocidade e a aceleração em função do tempo.
(d) Determine a posição, a velocidade e a aceleração iniciais da embarcação.
(R: (a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede e o que já temos):
O enunciado dá o deslocamento vertical da embarcação como
Perguntas:
- (a) Determinar a amplitude
, a frequência , a frequência angular , a constante de fase e o período . - (b) Calcular a posição
no instante . - (c) Determinar a velocidade
e a aceleração em função do tempo. - (d) Determinar a posição, velocidade e aceleração iniciais (
).
Dados relevantes extraídos do enunciado:
Do argumento identificamos que o coeficiente de
é
(isto será a frequência angular
) e a constante adicionada é
(fase inicial).
Passo 2
Identificando a amplitude e a constante de fase (explicando bem o que são):
-
Amplitude: em um MHS dado por
, o número que multiplica o cosseno é a amplitude, ou seja o deslocamento máximo em módulo. Aqui vemos .
Explicação curta: amplitude é o “tamanho” da oscilação — quão alto/baixo a embarcação chega a partir do ponto de equilíbrio. -
Constante de fase
: é o termo que aparece somando dentro do argumento do cosseno e desloca o instante em que a função passa pelos seus pontos característicos. Aqui .
Passo 3
Determinando a frequência angular
e explicando o motivo:
A forma padrão é
. Comparando com o dado,
Unidades:
tem unidades de radiano por segundo (
), portanto escrevemos
Breve aula:
indica a rapidez angular da oscilação — quantos radianos a fase percorre por segundo. Aqui cada segundo incrementa o argumento em
radiano.
Passo 4
Relação entre
, frequência
e período
e cálculo numérico:
As relações fundamentais em MHS são
e
Aplicando
:
Explicação:
é o número de oscilações por segundo;
é o tempo para completar uma oscilação completa.
Passo 5
Calculando a posição no instante
(passo a passo numérico, sem pular etapas):
Usamos a expressão dada:
Simplificando o argumento:
Somando com a fase:
Agora calculamos o cosseno (faça isso na prova com uma calculadora; aqui mostro o valor):
Multiplicando pela amplitude:
Observação: usei aproximação do cosseno; resultado arredondado a três algarismos significativos fica
.
Passo 6
Derivação da velocidade: regra da cadeia e fórmula usada (aula curta):
Velocidade é a derivada do deslocamento em relação ao tempo:
Se
, aplicamos a derivada da função cosseno e a regra da cadeia:
- derivada de
em relação a é , - multiplicamos pelo derivado interno
.
Logo
Explicação: a regra da cadeia diz que derivamos a função externa e multiplicamos pela derivada do argumento interno.
Passo 7
Aplicando os valores para obter
:
Usando
e
:
Unidade: metros por segundo.
Passo 8
Derivação da aceleração: novamente regra da cadeia (aula curta):
Aceleração é a derivada da velocidade:
Derivando
:
- derivada de
é , - aplicamos regra da cadeia multiplicando por
, - aparece um sinal negativo extra porque derivada de
é .
Portanto
Passo 9
Aplicando os valores para obter
:
Com
e
:
Logo
Passo 10
Cálculo das condições iniciais (
) passo a passo:
Posição inicial:
Sabendo
,
Velocidade inicial:
Sabendo
,
Aceleração inicial:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)