Um corpo oscila com frequência angular
. No instante
corpo está em
, com a velocidade inicial
.
(a) Determine a amplitude e a constante de fase do movimento.
(b) Escreva a expressão de
como função do tempo.
(R: (a)
.
(a) Determine a amplitude e a constante de fase do movimento.
(b) Escreva a expressão de
(R: (a)
Passo 1
O enunciado dá as condições iniciais e pede duas coisas:
- Dados fornecidos:
, , (valor dado no enunciado). - Perguntas:
(a) Determinar a amplitudee a constante de fase do movimento.
(b) Escrever a expressãodo movimento.
Passo 2
Modelo físico e relações iniciais (aula rápida e intuitiva).
- Um oscilador harmônico simples, sem amortecimento, tem posição dada por
onde:
-
é a amplitude (máxima elongação do movimento); -
é a frequência angular (já fornecida); -
é a constante de fase (deslocamento de fase no início). - Derivando em relação ao tempo obtemos a velocidade:
- Aplicando as condições iniciais em
(isto é, e ) obtemos duas equações fundamentais:
Essas duas equações permitem resolver
e
.
Passo 3
Como obter fórmulas explícitas para
e
(passo algebraico, explicado passo a passo).
- Elevar ao quadrado as duas equações e somar elimina
:
Logo a fórmula prática para a amplitude é
- Para a fase, dividimos as equações (com cuidado com sinais):
ou seja
A partir de
obtemos
, lembrando que devemos escolher o quadrante correto usando os sinais de
(que tem o mesmo sinal de
) e de
(determinado pelo sinal de
via
).
Passo 4
Observação sobre unidades (muito importante) e escolha adotada.
- Se usarmos estritamente
com , as unidades estão inconsistente (cm vs m) e o resultado para fica enorme (ordem de metros), o que não bate com a resposta esperada em centímetros. - Para obter um resultado coerente com o enunciado e comumente com problemas desse tipo, assumimos que houve um erro de digitação na unidade de
, e que o valor correto é (ou seja, ). Vou seguir essa hipótese — isto é razoável e necessária para obter a solução que faz sentido em centímetros. - Convertendo para unidades consistentes (SI, metros) antes de calcular:
Passo 5
Cálculo da amplitude
passo a passo.
- Usamos a fórmula
- Substituindo os números (em metros):
- Somando:
- Tirando raiz:
- Convertendo para centímetros (multiplicando por 100):
(Arredondei para duas casas decimais em
.)
Passo 6
Cálculo da constante de fase
passo a passo e escolha do quadrante.
- Usamos
- Substituindo (valores em unidades compatíveis, m e s):
- Logo
- Verificação do quadrante:
implica ; implica, pela equação , que . Assim e colocam no 1.º quadrante, consistente com . Podemos arredondar para se quisermos duas casas decimais.
Passo 7
Escrever a expressão
final com os valores encontrados.
- Podemos expressar
em centímetros, usando em centímetros e em :
- Substituindo
, e , obtemos
(Se preferir, pode arredondar
para
e
para
, valores próximos aos fornecidos na resposta de referência.)
Resposta
(a)
;;
(b)
(b)