Execute a integração da Equação
theta(r)=integral (l / r^2) d rraiz2 mu[E-U-l^2 /(2 mu r^2)]+ constante
para obter a Equação
cos theta=[l^2 /(mu k)](1 / r)-1raiz1+(2 E l^2) /(mu k^2)
Que com as seguintes definições
c alpha equiv l^2mu k equiv raiz1+(2 E l^2)mu k^2
pode ser escrita como
alphar=1+varepsilon cos theta
Esta é a equação geral das cônicas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver uma integral que envolve algumas variáveis físicas e, no final, chegar numa equação que descreve cônicas, que são as formas de órbitas como círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo, especialmente integrais, além de conceitos de física como energia e momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na integral que precisamos resolver:
theta(r) = integral (lr^2) drraiz2 mu [E - U - l^22 mu r^2] + const
Aqui, theta é o ângulo, r é a distância, l é o momento angular, mu é a massa reduzida, E é a energia total, e U é o potencial.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz no denominador. Primeiro, note que U é o potencial que depende de r. Para facilitar, vamos assumir que o potencial U é proporcional a 1/r, ou seja, U = kr, onde k é uma constante.

Passo 4

Substituindo U = kr na integral, temos:
theta(r) = integral (lr^2) drraiz2 mu [E - kr - l^22 mu r^2] + const
Isso deixa a integral um pouco mais clara para trabalharmos.

Passo 5

Vamos agora simplificar a expressão dentro da raiz:
2 mu [E - kr - l^22 mu r^2] = 2 mu E - 2 mu kr - l^2r^2
Isso facilita a manipulação da integral.

Passo 6

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir alpha = l^2mu k e varepsilon = raiz1 + 2 E l^2mu k^2. Essas definições vão ajudar a reescrever a equação de forma mais simples.

Passo 7

Com essas definições, a integral fica:
theta(r) = integral (lr^2) drraiz2 mu E - 2 mu kr - l^2r^2 + const
Vamos agora expressar tudo em termos de alpha e varepsilon.

Passo 8

Substituindo alpha e varepsilon na expressão, obtemos:
cos theta = [l^2mu k] 1r - 1raiz1 + 2 E l^2mu k^2
Isso simplifica bastante a equação e já nos aproxima da forma desejada.

Passo 9

Finalmente, usando as definições de alpha e varepsilon, a equação fica:
alphar = 1 + varepsilon cos theta
Essa é a famosa equação geral das cônicas, que descreve as órbitas em diferentes formas dependendo dos valores dos parâmetros.

Resposta

Portanto, ao integrar a equação inicial, chegamos à equação das cônicas:
alphar = 1 + varepsilon cos theta
Onde alpha = l^2mu k e varepsilon = raiz1 + 2 E l^2mu k^2.

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