Considere uma corrente de uma mistura composta por 50 \% do composto A e 50 \% do composto B, em base molar, que sofre uma destilação flash, na qual é formada uma fase vapor com fração molar de A igual a 0,8 e uma fase líquida com fração molar de A igual a 0,4 . Calcule a porcentagem da mistura que é vaporizada.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a porcentagem da mistura que é vaporizada numa destilação flash.\n
Dados fornecidos:
  • Fração molar do composto A na alimentação: z_A = 50\% = 0,5.\n
  • Fração molar de A na fase vapor formada: y_A = 0,8.\n
  • Fração molar de A na fase líquida formada: x_A = 0,4.\n
    O que devemos encontrar: a fração da mistura que é vaporizada (ou seja, a fração molar vaporizada V), e expressá‑la em porcentagem.

Passo 2

Vamos definir as variáveis e a ideia física por trás do cálculo.\n
  • z_A é a fração molar de A no alimentador (feed), ou seja, a fração de mols de A em toda a alimentação.\n
  • V é a fração molar da alimentação que vai para a fase vapor (ou seja, a fração vaporizada). A fração que sobra como líquido é L = 1 - V.\n
  • y_A é a fração molar de A no vapor produzido.\n
  • x_A é a fração molar de A no líquido restante.\n
    Princípio usado: balanço de matéria componente A sobre toda a unidade (estado estacionário, sem acumulação). A quantidade total de A que entra (por mol de alimentação) deve ser igual à soma de A que sai no vapor mais A que sai no líquido.

Passo 3

Escrevendo o balanço de matéria para o componente A (por 1 mol de alimentação, forma mais simples para prova):\n
- mols de A na alimentação = mols de A no vapor + mols de A no líquido.\n
Em termos de frações e V:\n
z_A = V\,y_A + (1-V)\,x_A.
Aqui cada termo significa:
  • z_A: fração de A por mol de alimentação (mols de A por mol de alimentação).\n
  • V\,y_A: fração de A que vai no vapor (fração vaporizada vezes fração de A no vapor).\n
  • (1-V)\,x_A: fração de A que fica no líquido.

Passo 4

Agora vamos isolar V da equação. Começamos com
z_A = V\,y_A + (1-V)\,x_A.
Desenvolvendo o termo (1-V)\,x_A obtemos
z_A = V\,y_A + x_A - V\,x_A.
Agrupando os termos que têm V:
z_A = x_A + V\,(y_A - x_A).
Subtraindo x_A de ambos os lados:
z_A - x_A = V\,(y_A - x_A).
Finalmente isolamos V:
V = \frac{z_A - x_A}{\,y_A - x_A\,}.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos dados: z_A = 0,5, x_A = 0,4, y_A = 0,8.\n
Usando a fórmula:
V = \frac{0,5 - 0,4}{0,8 - 0,4}.
Calculando o numerador e o denominador:
V = \frac{0,1}{0,4}.
Para simplificar com passos que dá para fazer sem calculadora: escrevemos 0,1 = \tfrac{1}{10} e 0,4 = \tfrac{4}{10}, assim
V = \frac{\tfrac{1}{10}}{\tfrac{4}{10}} = \frac{1}{4}.
Portanto
V = 0,25.

Passo 6

Interpretação: V=0,25 significa que 25\% da alimentação, em base molar, foi vaporizada. Para transformar fração em porcentagem multiplicamos por 100\%:
\text{percentual vaporizado} = V \times 100\% = 0,25 \times 100\% = 25\%.

Passo 7

Comentário didático (regra prática para prova — “lever rule”): a fórmula usada pode ser vista como uma aplicação direta da chamada regra da alavanca (lever rule) aplicada às composições nas duas fases: a fração vaporizada é a distância entre a composição do líquido e a alimentação dividida pela distância entre as composições das duas fases,
V = \frac{z_A - x_A}{y_A - x_A},
o que é exatamente o que derivamos do balanço de matéria. Isso é útil para resolver rapidamente problemas similares sem escrever todo o balanço, desde que você saiba identificar z_A, x_A e y_A.

Resposta

25\%

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