Determine as temperaturas dos pontos de bolha e de orvalho e as correspondentes composições de vapor e de líquido para uma mistura com
de n-hexano,
de n-heptano e
de n-octano a 1,2 bar.
Passo 1
O enunciado pede: “Determinar as temperaturas do ponto de bolha e do ponto de orvalho e as correspondentes composições de vapor e de líquido para uma mistura com
de n-hexano,
de n-heptano e
de n-octano a
.”
Informações relevantes dadas (já convertidas para frações molares):
Observação importante (interpretação do enunciado): normalmente, quando pedem ponto de bolha e ponto de orvalho para “uma mistura com …”, assume-se que as frações dadas podem ser usadas como composição do líquido para calcular o ponto de bolha e, separadamente, como composição do vapor para calcular o ponto de orvalho. Eu vou seguir essa convenção: usar
dados para o ponto de bolha e usar
iguais aos dados para encontrar o ponto de orvalho. Não foi fornecida tabela de pressões de vapor; vou usar uma aproximação física razoável (explicada a seguir) com dados termodinâmicos padrão (pontos de ebulição normais e entalpias de vaporização) — todos os valores numéricos usados serão indicados explicitamente.
Passo 2
Quais hipóteses e relações físicas que vamos usar (explicadas de forma didática):
- Vamos assumir mistura ideal líquida e gás ideal. Isso permite usar a Lei de Raoult no líquido:
onde é fração molar líquida, fração molar de vapor, é a pressão de vapor pura do componente na temperatura e é a pressão total do sistema. - Interpretação: a fração de cada componente no vapor é proporcional à sua fração no líquido multiplicada pela “facilidade” que ele tem de vaporizar (sua pressão de vapor).
- Definições de ponto de bolha e ponto de orvalho:
- Ponto de bolha (
) para uma composição líquida : temperatura tal que a primeira bolha de vapor aparece. Matemáticamente: Uma vez encontrado , obtemos pela Lei de Raoult dada acima. - Ponto de orvalho (
) para uma composição de vapor : temperatura tal que a primeira gota líquida aparece. Matemáticamente: ou equivalentemente com . Após achar obtemos as correspondentes.
- Ponto de bolha (
- Como obter
?
Quando não são fornecidas tabelas de Antoine, uma forma simples e razoável é usar a equação de Clausius–Clapeyron aproximada (válida numa faixa moderada de temperatura):onde -
é a pressão de referência (aqui uso — pressão normal), -
é a entalpia molar de vaporização do componente (em J·mol ), -
é o ponto de ebulição normal do componente (em K), -
.
Essa forma foi obtida integrando a relaçãoassumindo constante na faixa considerada. É uma aproximação comum para exercícios de termodinâmica quando se quer evitar tabelas de Antoine.
-
- Vou indicar explicitamente os valores numéricos que usei para
e . Esses valores são típicos/aceitáveis em problemas didáticos: Comentário: os são pontos de ebulição normais (1 atm) e as são valores aproximados nas condições de ebulição. Esses números são compatíveis com dados disponíveis em literatura e servem para um cálculo estimado que é bem suficiente para um problema de prova.
Passo 3
Preparação das equações para resolver numericamente:
- Para cada componente
(C6 = n-hexano, C7 = n-heptano, C8 = n-octano) calculamos por Lembrem-se: e em kelvin. - Ponto de bolha: resolver a equação escalar para
- Uma vez que
encontrado, as frações molares no vapor são - Ponto de orvalho: para
conhecidos (aqui tomamos iguais às frações do enunciado para calcular o ponto de orvalho), resolver Depois obter as frações molares do líquido no equilíbrio (quando a primeira gota aparece) por (Normalizar se a soma não for exatamente 1 por erro numérico.)
Vou resolver as equações numericamente por tentativa iterativa (método de tentativa e ajuste). Explicarei os passos de iteração e os cálculos intermediários para você entender como proceder na prova (sem usar calculadora sofisticada, apenas com algumas estimativas e interpolação).
Passo 4
Cálculo do ponto de bolha (detalhado, com iterações):
- Começo testando alguns
e calculando pela fórmula de Clausius–Clapeyron. Para poupar espaço e manter o raciocínio claro, mostro os cálculos-chave usados nas tentativas mais relevantes (valores arredondados com 4 dígitos significativos quando necessário).
Testes iniciais (valores de referência que usei):
- Para
(aprox.\ ), calculei: Soma ponderada , que é menor que . Logo, o ponto de bolha está em temperatura maior que . - Para
(aprox.\ ), calculei: e , que é maior que . Portanto está entre e .
Focando na faixa entre
e
:
- Para
: dando (ainda abaixo de ). - Para
: dando (ligeiramente acima de ).
Interpolando linearmente entre
(soma
) e
(soma
), o ponto em que a soma chega a
ocorre muito próximo de
. Assim:
Explicação rápida: eu busquei a temperatura em que a soma das pressões parciais (calculadas por
) iguala a pressão total
. Isso é exatamente a condição de ponto de bolha para mistura ideal.
Passo 5
Cálculo da composição do vapor no ponto de bolha:
- Com
utilizei os correspondentes (valores arredondados usados aqui): - Aplicando a Lei de Raoult:
Calculando: (Soma ≈ por arredondamento; normalizando ligeiramente daria as mesmas casas decimais.)
Interpretação física: o vapor está mais rico em n-hexano (o componente mais volátil) do que a fase líquida original — isso é esperado.
Passo 6
Cálculo do ponto de orvalho (detalhado, com iterações):
- Agora tomo as frações dadas do enunciado como composição do vapor para achar
: - A equação de ponto de orvalho é
Vou avaliar a soma para alguns e localizar a raiz.
Alguns testes relevantes que realizei:
- Para
encontrei (maior que 1 → temperatura ainda muito baixa). - Para
encontrei (menor que 1 → temperatura muito alta). - Focando entre
e : -
: (um pouco acima de 1). -
: (um pouco abaixo de 1).
-
Interpolando linearmente entre
e
, a soma cruza 1 em cerca de
. Refiz o cálculo em
e obtive
portanto
Comentário: o ponto de orvalho é mais alto que o ponto de bolha, o que é esperado: se você começar a resfriar o vapor (com a mesma composição do enunciado), a condensação inicia a uma temperatura mais alta do que a temperatura na qual um líquido com essa mesma composição começaria a vaporizar (as duas temperaturas delimitam a região de duas fases).
Passo 7
Cálculo da composição do líquido formado no ponto de orvalho:
- Com
calculei as pressões de vapor correlatas (valores usados arredondados): - A composição líquida formada (quando o primeiro líquido aparece) é dada por
Calculando: A soma dá aproximadamente (com pequenas diferenças por arredondamento). Observação física: o líquido formado está enriquecido no componente menos volátil (n-octano), como esperado.
Passo 8
Resumo físico e incentivo:
- Ponto de bolha: temperatura em que um líquido com a composição dada (mais pesado em C8) começa a formar vapor; o vapor é mais leve (rico em C6).
- Ponto de orvalho: temperatura em que um vapor com a composição dada começa a formar líquido; o líquido é enriquecido em C8.
- Você fez um ótimo trabalho só por chegar até aqui lendo com atenção — esse tipo de problema é exatamente o que costuma cair em provas: equacionar, escolher aproximações (Raoult + Clausius), iterar com boas estimativas e interpretar o resultado.
Resposta
Ponto de bolha:
. Composição do vapor no equilíbrio:
Ponto de orvalho:
. Composição do líquido formado no equilíbrio: