Um tanque de flash opera a 50^{\circ} \mathrm{C} e 200 KPa separa 1000 \frac{\mathrm{kgmoles}}{\mathrm{h}} de uma carga com a seguinte composição: propano: 30 \% molar, n-butano: 10 \% molar, n-pentano: 15 \% molar e n-hexano: 45% molar. Determine as composições dos produtos e suas vazões.

Passo 1

O enunciado dá um flash (tanque de separação em equilíbrio) operando a 50^\circ\mathrm{C} e 200\\ \mathrm{kPa}. A alimentação é de F=1000\\ \mathrm{kmol/h} com composição molar:
z_{\text{C}_3}=0,30,\quad z_{\text{nC}_4}=0,10,\quad z_{\text{nC}_5}=0,15,\quad z_{\text{nC}_6}=0,45.
O que o problema pede: determinar as composições molares dos produtos (vapor e líquido) e as vazões molares desses dois produtos (ou seja, V e L em \mathrm{kmol/h} e y_i, x_i para cada componente). Estas são as informações relevantes que vamos usar.

Passo 2

Como a separação é um flash em equilíbrio vapor–líquido e nada mais sobre não-idealidade foi dado, vamos assumir mistura ideal na fase líquida e comportamento de gás ideal na fase vapor para aplicar a Lei de Raoult aproximada. Explico a ideia: para cada componente i em equilíbrio numa pressão total P,
y_i = K_i\,x_i,\qquad K_i=\frac{P_i^{\text{sat}}(T)}{P},
onde P_i^{\text{sat}}(T) é a pressão de vapor saturado do componente i à temperatura T e P é a pressão do sistema. Aqui x_i é a fração molar na fase líquida e y_i na fase vapor. A incógnita global é a fração mássica (molar) do vapor na saída, que chamamos de \beta (ou seja V=\beta F e L=(1-\beta)F). Para obter P_i^{\text{sat}} usamos a equação de Antoine:
\log_{10}\big(P_i^{\text{sat}}(\text{mmHg})\big)=A_i-\frac{B_i}{T(^\circ\mathrm{C})+C_i}.
Depois convertemos \mathrm{mmHg} para \mathrm{kPa} usando 1\\ \mathrm{mmHg}=0,133322\\ \mathrm{kPa}. Abaixo uso constantes de Antoine (típicas de referências) válidas perto de 50^\circ\mathrm{C}:
\begin{array}{l|ccc} \text{Componente} & A_i & B_i & C_i\\hline \text{propano (C}_3) & 6{,}830 & 758{,}0 & 230{,}0\\\ \text{n-butano (nC}_4) & 6{,}809 & 935{,}86 & 240{,}0\\\ \text{n-pentano (nC}_5) & 6{,}85283 & 1064{,}84 & 232{,}0\\\ \text{n-hexano (nC}_6) & 6{,}8763 & 1171{,}53 & 224{,}0 \end{array}
(Obs.: estes A,B,C produzem pressões saturadas compatíveis com dados conhecidos; se em prova houver tabela use a tabela do enunciado — aqui estou usando constantes padrão para seguir com os cálculos.)

Passo 3

Calcular P_i^{\text{sat}} em \mathrm{kPa} para T=50^\circ\mathrm{C}.
Para cada componente:
\log_{10}\big(P_i^{\text{sat}}(\mathrm{mmHg})\big)=A_i-\frac{B_i}{50+C_i},
e depois P_i^{\text{sat}}(\mathrm{kPa})=0{,}133322\cdot P_i^{\text{sat}}(\mathrm{mmHg}).
Cálculos (numéricos):
  • Propano:
\log_{10}P^{\text{sat}}_{\text{C}_3}=6{,}830-\frac{758{,}0}{50+230}=6{,}830-\frac{758{,}0}{280}=6{,}830-2{,}707=4{,}123
P^{\text{sat}}_{\text{C}_3}(\mathrm{mmHg})=10^{4{,}123}=1{,}327\times 10^{4}\\ \mathrm{mmHg}
P^{\text{sat}}_{\text{C}_3}(\mathrm{kPa})=0{,}133322\times 13270\approx 1770\\ \mathrm{kPa}.
  • n-Butano:
\log_{10}P^{\text{sat}}_{\text{nC}_4}=6{,}809-\frac{935{,}86}{50+240}=6{,}809-\frac{935{,}86}{290}=6{,}809-3{,}226=3{,}583
P^{\text{sat}}_{\text{nC}_4}(\mathrm{kPa})\approx 0{,}133322\times 10^{3{,}583}\approx 510\\ \mathrm{kPa}.
  • n-Pentano:
\log_{10}P^{\text{sat}}_{\text{nC}_5}=6{,}85283-\frac{1064{,}84}{50+232}=6{,}85283-\frac{1064{,}84}{282}=6{,}85283-3{,}776\approx 3{,}077
P^{\text{sat}}_{\text{nC}_5}(\mathrm{kPa})\approx 0{,}133322\times 10^{3{,}077}\approx 159\\ \mathrm{kPa}.
  • n-Hexano:
\log_{10}P^{\text{sat}}_{\text{nC}_6}=6{,}8763-\frac{1171{,}53}{50+224}=6{,}8763-\frac{1171{,}53}{274}=6{,}8763-4{,}277\approx 2{,}599
P^{\text{sat}}_{\text{nC}_6}(\mathrm{kPa})\approx 0{,}133322\times 10^{2{,}599}\approx 53\\ \mathrm{kPa}.
Agora os K_i:
K_i=\frac{P_i^{\text{sat}}}{P}
com P=200\\ \mathrm{kPa}:
K_{\text{C}_3}\approx\frac{1770}{200}=8{,}85,\quad K_{\text{nC}_4}\approx\frac{510}{200}=2{,}55,
K_{\text{nC}_5}\approx\frac{159}{200}=0{,}795,\quad K_{\text{nC}_6}\approx\frac{53}{200}=0{,}265.
Interpretação rápida: K>1 significa tendência a vaporizar; K<1 significa tendência a ficar líquido. Aqui propano e butano favorecem vapor; pentano e hexano favorecem líquido — mas haverá mistura e teremos um \beta intermediário.

Passo 4

Derivar a equação para a fração de vapor \beta (Rachford–Rice). A conservação molar para cada componente dá:
z_i = (1-\beta)\,x_i + \beta\,y_i = x_i\big(1-\beta+\beta K_i\big).
Logo
x_i=\frac{z_i}{1-\beta+\beta K_i}=\frac{z_i}{1+\beta(K_i-1)}.
Usando \sum_i x_i=1 obtemos a equação de Rachford–Rice:
\sum_{i}\frac{z_i}{1+\beta(K_i-1)} = 1.
Uma forma equivalente, frequentemente usada para resolver numericamente, é
g(\beta)=\sum_i \frac{z_i\,(K_i-1)}{1+\beta(K_i-1)}=0.
Esta equação é resolvida numericamente no intervalo 0\le\beta\le 1. Vamos avaliar g(\beta) e achar a raiz por tentativa (bisseção/interpolação simples).
Avaliações rápidas:
g(0)=\sum_i z_i(K_i-1)=0{,}30\cdot7{,}85+0{,}10\cdot1{,}55+0{,}15\cdot(-0{,}205)+0{,}45\cdot(-0{,}735)\approx 2{,}149>0.
g(1)=\sum_i z_i\Big(1-\frac{1}{K_i}\Big)\approx -0{,}960<0.
Como há mudança de sinal, existe raiz 0<\beta<1. Avaliando por aproximações (bisseção/interpolação), calculando g(0{,}50), g(0{,}505) etc., encontra-se a raiz próxima de
\beta\approx 0{,}505.
Ou seja, o vapor é aproximadamente 50{,}5\% da alimentação em mols. Portanto:
V=\beta F\approx 0{,}505\times 1000\approx 505\\ \mathrm{kmol/h},\qquad L=(1-\beta)F\approx 495\\ \mathrm{kmol/h}.

Passo 5

Agora calculamos as frações molares na fase líquida usando
x_i=\frac{z_i}{1+\beta(K_i-1)}.
Com \beta=0{,}505 e os K_i calculados, fazemos cada conta:
  • Propano:
x_{\text{C}_3}=\frac{0{,}30}{1+0{,}505(8{,}85-1)}=\frac{0{,}30}{1+0{,}505\cdot 7{,}85}=\frac{0{,}30}{4{,}968}\approx 0{,}0604.
  • n-butano:
x_{\text{nC}_4}=\frac{0{,}10}{1+0{,}505(2{,}55-1)}=\frac{0{,}10}{1{,}783}\approx 0{,}0561.
  • n-pentano:
x_{\text{nC}_5}=\frac{0{,}15}{1+0{,}505(0{,}795-1)}=\frac{0{,}15}{0{,}8965}\approx 0{,}1673.
  • n-hexano:
x_{\text{nC}_6}=\frac{0{,}45}{1+0{,}505(0{,}265-1)}=\frac{0{,}45}{0{,}6288}\approx 0{,}7162.
Cheque rápido: \sum x_i\approx 0{,}0604+0{,}0561+0{,}1673+0{,}7162\approx 1{,}000 OK.

Passo 6

As frações molares do vapor seguem y_i=K_i x_i. Calculamos:
  • Propano:
y_{\text{C}_3}=K_{\text{C}_3}x_{\text{C}_3}=8{,}85\times 0{,}0604\approx 0{,}5344.
  • n-butano:
y_{\text{nC}_4}=2{,}55\times 0{,}0561\approx 0{,}1429.
  • n-pentano:
y_{\text{nC}_5}=0{,}795\times 0{,}1673\approx 0{,}1330.
  • n-hexano:
y_{\text{nC}_6}=0{,}265\times 0{,}7162\approx 0{,}1897.
Cheque: \sum y_i\approx 1{,}000 (somatória dá \approx 1{,}000 com pequenos erros de arredondamento).

Passo 7

Agora as vazões molares de cada produto (em \mathrm{kmol/h}):
  • Vazões molares totais:
V\approx 505\\ \mathrm{kmol/h},\qquad L\approx 495\\ \mathrm{kmol/h}.
  • Vazões por componente no vapor V_i = y_i V:
V_{\text{C}_3}\approx 0{,}5344\times505\approx 270{,}8\\ \mathrm{kmol/h},
V_{\text{nC}_4}\approx 0{,}1429\times505\approx 72{,}2\\ \mathrm{kmol/h},
V_{\text{nC}_5}\approx 0{,}1330\times505\approx 67{,}2\\ \mathrm{kmol/h},
V_{\text{nC}_6}\approx 0{,}1897\times505\approx 95{,}8\\ \mathrm{kmol/h}.
  • Vazões por componente no líquido L_i = x_i L:
L_{\text{C}_3}\approx 0{,}0604\times495\approx 29{,}9\\ \mathrm{kmol/h},
L_{\text{nC}_4}\approx 0{,}0561\times495\approx 27{,}8\\ \mathrm{kmol/h},
L_{\text{nC}_5}\approx 0{,}1673\times495\approx 82{,}8\\ \mathrm{kmol/h},
L_{\text{nC}_6}\approx 0{,}7162\times495\approx 354{,}5\\ \mathrm{kmol/h}.
Verificação global (feed = vapor + líquido aproximadamente):
300\approx 270{,}8+29{,}9,\quad 100\approx 72{,}2+27{,}8,\quad 150\approx 67{,}2+82{,}8,\quad 450\approx 95{,}8+354{,}5.
Os pequenos desvios são devidos a arredondamentos; balanço fecha razoavelmente bem.

Resposta

Vapor: V\approx 505\\ \mathrm{kmol/h}; composição molar y_{\text{C}_3}=0,5344,\; y_{\text{nC}_4}=0,1429,\; y_{\text{nC}_5}=0,1330,\; y_{\text{nC}_6}=0,1897; vazões componentes V_{\text{C}_3}\approx 270{,}8\\ \mathrm{kmol/h},\; V_{\text{nC}_4}\approx 72{,}2\\ \mathrm{kmol/h},\; V_{\text{nC}_5}\approx 67{,}2\\ \mathrm{kmol/h},\; V_{\text{nC}_6}\approx 95{,}8\\ \mathrm{kmol/h}.
Líquido: L\approx 495\\ \mathrm{kmol/h}; composição molar x_{\text{C}_3}=0,0604,\; x_{\text{nC}_4}=0,0561,\; x_{\text{nC}_5}=0,1673,\; x_{\text{nC}_6}=0,7162; vazões componentes L_{\text{C}_3}\approx 29{,}9\\ \mathrm{kmol/h},\; L_{\text{nC}_4}\approx 27{,}8\\ \mathrm{kmol/h},\; L_{\text{nC}_5}\approx 82{,}8\\ \mathrm{kmol/h},\; L_{\text{nC}_6}\approx 354{,}5\\ \mathrm{kmol/h}.

Exercícios relacionados