Considere um cubo de ouro cuja aresta mede 1 mm de comprimento. Calcule o numero aproximado de electrões de condução nesse cubo, cujas energias se situam no intervalo de 4.000 a 4.025 a temperatura de 300 k . Suponha que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um cubo de ouro com aresta de 1 mm e pede para calcular o número aproximado de elétrons de condução cujo energia está entre 4.000 e 4.025 (presumo que seja em Kelvin) à temperatura de 300 K. A matéria envolvida aqui é a Física do Estado Sólido, especialmente o comportamento dos elétrons de condução em metais como o ouro. Para resolver, vamos precisar saber a densidade de elétrons, a energia de Fermi e como os elétrons se distribuem nas energias disponíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume do cubo de ouro. Sabemos que a aresta mede 1 mm, que é igual a
metros. O volume
de um cubo é dado por:
Passo 3
Agora, precisamos saber a densidade de elétrons de condução no ouro. O ouro tem aproximadamente
elétrons por metro cúbico. Isso significa que em cada metro cúbico, há essa quantidade de elétrons disponíveis para condução.
Passo 4
Com o volume do cubo e a densidade de elétrons, podemos calcular o número total de elétrons de condução no cubo:
Passo 5
Queremos saber quantos desses elétrons estão na faixa de energia entre 4.000 e 4.025 K. Para isso, usamos a distribuição de Fermi-Dirac, que nos dá a probabilidade de um elétron ocupar um estado de energia específico a uma temperatura
. A largura dessa faixa de energia é
.
A densidade de estados no nível de Fermi
para metais é aproximadamente constante e dada por:
Onde
é o número total de elétrons e
é a energia de Fermi. No ouro,
.
Convertendo
para elétron-volts:
Passo 6
Agora, o número de elétrons na faixa
é aproximadamente:
Substituindo os valores:
Resposta
O número aproximado de elétrons de condução no cubo de ouro cuja energia está entre 4.000 e 4.025 K a 300 K é de aproximadamente
elétrons.