Considere um cubo de ouro cuja aresta mede 1 mm de comprimento. Calcule o numero aproximado de electrões de condução nesse cubo, cujas energias se situam no intervalo de 4.000 a 4.025 a temperatura de 300 k . Suponha que EF(300 K)=EF(0)=5.53 eV.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um cubo de ouro com aresta de 1 mm e pede para calcular o número aproximado de elétrons de condução cujo energia está entre 4.000 e 4.025 (presumo que seja em Kelvin) à temperatura de 300 K. A matéria envolvida aqui é a Física do Estado Sólido, especialmente o comportamento dos elétrons de condução em metais como o ouro. Para resolver, vamos precisar saber a densidade de elétrons, a energia de Fermi e como os elétrons se distribuem nas energias disponíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume do cubo de ouro. Sabemos que a aresta mede 1 mm, que é igual a 1 times 10^-3 metros. O volume V de um cubo é dado por:
V = aresta^3 = (1 times 10^-3, m)^3 = 1 times 10^-9, m^3

Passo 3

Agora, precisamos saber a densidade de elétrons de condução no ouro. O ouro tem aproximadamente 5.9 times 10^28 elétrons por metro cúbico. Isso significa que em cada metro cúbico, há essa quantidade de elétrons disponíveis para condução.

Passo 4

Com o volume do cubo e a densidade de elétrons, podemos calcular o número total de elétrons de condução no cubo:
Ntotal = densidade times V = 5.9 times 10^28, elétrons/m^3 times 1 times 10^-9, m^3 = 5.9 times 10^19, elétrons éé

Passo 5

Queremos saber quantos desses elétrons estão na faixa de energia entre 4.000 e 4.025 K. Para isso, usamos a distribuição de Fermi-Dirac, que nos dá a probabilidade de um elétron ocupar um estado de energia específico a uma temperatura T. A largura dessa faixa de energia é De.
A densidade de estados no nível de Fermi D(EF) para metais é aproximadamente constante e dada por:
D(EF) = 3N2EF
Onde N é o número total de elétrons e EF é a energia de Fermi. No ouro, EF = 5.53, eV.
Convertendo De para elétron-volts:
De

Passo 6

Agora, o número de elétrons na faixa De é aproximadamente:
De
Substituindo os valores:
Deé

Resposta

O número aproximado de elétrons de condução no cubo de ouro cuja energia está entre 4.000 e 4.025 K a 300 K é de aproximadamente 3.44 times 10^16 elétrons.

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