Imagine o universo como sendo uma cavidade esférica, com paredes impenetráveis, cujo raio é 10^28 cm. Se a temperatura dentro da cavidade for de 3 K . Determine:
A quantidade de energia (valor numérico) contida nesses fotões.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para imaginar o universo como uma cavidade esférica com paredes que não deixam nada passar, tendo um raio de 10^28 cm. A temperatura dentro dessa cavidade é de 3 K. Precisamos descobrir a quantidade de energia contida nos fótons dentro dessa cavidade.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados à radiação térmica e à densidade de energia dos fótons. Vamos precisar calcular o volume da cavidade e então determinar a energia total com base na temperatura dada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume da cavidade esférica. A fórmula para o volume $ V $ de uma esfera é:
V
Onde $ R $ é o raio da esfera. No nosso caso, $ R = 10^{28} $ cm.

Passo 3

Substituindo o valor do raio na fórmula do volume:
V = 43 pi (10^28 cm)^3 = 43 pi times 10^84 cm^3
Então, o volume da cavidade é aproximadamente $ \frac{4}{3} \pi \times 10{84} \text{cm}3 $.

Passo 4

Agora, precisamos calcular a densidade de energia dos fótons na cavidade. Para isso, usamos a relação de densidade de energia da radiação térmica, que é dada por:
u = a T^4
Onde:
  • $ u $ é a densidade de energia,
  • $ a $ é a constante de Stefan-Boltzmann para energia, $ a = 7.56 \times 10^{-16}\ J cm{-3} \text{K}{-4} $,
  • $ T $ é a temperatura em Kelvin.

Passo 5

Substituindo a temperatura $ T = 3\ K $ na fórmula:
T = 3 K
Calculando o valor:
u = 7.56 times 10^-16 J cm^-3 K^-4 times (3 K)^4
Então, a densidade de energia é aproximadamente $ 6.14 \times 10^{-14}\ J cm^{-3} $.

Passo 6

Agora, para encontrar a energia total $ U $ na cavidade, multiplicamos a densidade de energia $ u $ pelo volume $ V $:
U

Passo 7

Fazendo as contas:
U = 6.14 times 10^-14 times 43 pi times 10^84 = 6.14 times 43 pi times 10^70 J
Calculando os valores numéricos:
U approx 6.14 times 4.18879 times 10^70 approx 25.73 times 10^70 J

Resposta

A quantidade de energia contida nos fótons dentro da cavidade é aproximadamente 2.57 times 10^71 joules.

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