Imagine o universo como sendo uma cavidade esférica, com paredes impenetráveis, cujo raio é
. Se a temperatura dentro da cavidade for de 3 K . Determine:
A quantidade de energia (valor numérico) contida nesses fotões.
A quantidade de energia (valor numérico) contida nesses fotões.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para imaginar o universo como uma cavidade esférica com paredes que não deixam nada passar, tendo um raio de
cm. A temperatura dentro dessa cavidade é de 3 K. Precisamos descobrir a quantidade de energia contida nos fótons dentro dessa cavidade.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados à radiação térmica e à densidade de energia dos fótons. Vamos precisar calcular o volume da cavidade e então determinar a energia total com base na temperatura dada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume da cavidade esférica. A fórmula para o volume $ V $ de uma esfera é:
Onde $ R $ é o raio da esfera. No nosso caso, $ R = 10^{28} $ cm.
Passo 3
Substituindo o valor do raio na fórmula do volume:
Então, o volume da cavidade é aproximadamente $ \frac{4}{3} \pi \times 10{84} \text{cm}3 $.
Passo 4
Agora, precisamos calcular a densidade de energia dos fótons na cavidade. Para isso, usamos a relação de densidade de energia da radiação térmica, que é dada por:
Onde:
- $ u $ é a densidade de energia,
- $ a $ é a constante de Stefan-Boltzmann para energia, $ a = 7.56 \times 10^{-16}\ J cm{-3} \text{K}{-4} $,
- $ T $ é a temperatura em Kelvin.
Passo 5
Substituindo a temperatura $ T = 3\ K $ na fórmula:
Calculando o valor:
Então, a densidade de energia é aproximadamente $ 6.14 \times 10^{-14}\ J cm^{-3} $.
Passo 6
Agora, para encontrar a energia total $ U $ na cavidade, multiplicamos a densidade de energia $ u $ pelo volume $ V $:
Passo 7
Fazendo as contas:
Calculando os valores numéricos:
Resposta
A quantidade de energia contida nos fótons dentro da cavidade é aproximadamente
joules.