Considere o cubo 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1 e 0 <= z <= 1 e suponha que a densidade no ponto ( x, y, z) seja x.
Calcule o momento de inércia em relação ao eixo Oz. (Resp. 5/12)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cubo com lados de 0 a 1 nas coordenadas x, y e z. A densidade em qualquer ponto (x, y, z) é igual a x. Nosso objetivo é calcular o momento de inércia desse cubo em relação ao eixo Oz. Para isso, vamos usar o conceito de integrais triplas, que nos ajuda a somar pequenas partes do cubo para encontrar o todo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do momento de inércia em relação ao eixo Oz. Ele é dado por:
IOz = integral triplaV (x^2 + y^2) cdot rho(x, y, z) , dx , dy , dz
Aqui, V é o volume do cubo, rho(x, y, z) é a densidade no ponto (x, y, z), e x^2 + y^2 representa a distância ao quadrado desse ponto ao eixo Oz.

Passo 3

Sabemos que a densidade rho(x, y, z) = x. Então, substituindo na fórmula, temos:
IOz = integral triplaV (x^2 + y^2) cdot x , dx , dy , dz = integral triplaV (x^3 + x y^2) , dx , dy , dz
Agora, vamos separar a integral tripla em integrais simples, já que os limites são de 0 a 1 para todas as coordenadas.

Passo 4

Primeiro, integramos em relação a z. Como a função não depende de z, a integral em z simplesmente multiplica a expressão por 1 (já que $ \int_0^1 dz = 1 $).
Então, fica:
integral0^1 dz = 1

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a y:
integral0^1 (x^3 + x y^2) , dy = x^3 integral0^1 dy + x integral0^1 y^2 , dy = x^3 [y]0^1 + x [ y^33 ]0^1 = x^3 (1) + x ( 13 ) = x^3 + x3

Passo 6

Por fim, integramos em relação a x:
IOz = integral0^1 ( x^3 + x3 ) , dx = integral0^1 x^3 , dx + 13 integral0^1 x , dx = [ x^44 ]0^1 + 13 [ x^22 ]0^1 = 14 + 13 cdot 12 = 14 + 16 = 312 + 212 = 512

Resposta

O momento de inércia em relação ao eixo Oz é 512.

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