Considere o cubo
e
e suponha que a densidade no ponto (
) seja
.
Calcule o momento de inércia em relação ao eixo Oz. (Resp.
)
Calcule o momento de inércia em relação ao eixo Oz. (Resp.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um cubo com lados de 0 a 1 nas coordenadas
,
e
. A densidade em qualquer ponto
é igual a
. Nosso objetivo é calcular o momento de inércia desse cubo em relação ao eixo
. Para isso, vamos usar o conceito de integrais triplas, que nos ajuda a somar pequenas partes do cubo para encontrar o todo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do momento de inércia em relação ao eixo
. Ele é dado por:
Aqui,
é o volume do cubo,
é a densidade no ponto
, e
representa a distância ao quadrado desse ponto ao eixo
.
Passo 3
Sabemos que a densidade
. Então, substituindo na fórmula, temos:
Agora, vamos separar a integral tripla em integrais simples, já que os limites são de 0 a 1 para todas as coordenadas.
Passo 4
Primeiro, integramos em relação a
. Como a função não depende de
, a integral em
simplesmente multiplica a expressão por 1 (já que $ \int_0^1 dz = 1 $).
Então, fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a
:
Passo 6
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
O momento de inércia em relação ao eixo
é
.