Uma rede de pesca é arrastada por uma corrente oceânica que exerce uma força variável ao longo da trajetória. A força F(x), em Newtons, ao longo da posição x (em metros) é modelada por:
F(x)=10raiz9-x^2
A rede é puxada do ponto x=0 até x=2.
Calcule o trabalho realizado pela corrente oceânica ao deslocar a rede de pesca nesse intervalo.

Passo 1

Aqui a ideia é calcular o trabalho realizado por uma força que varia com a posição. O enunciado dá a força F(x)=dfrac10raiz9-x^2 puxando a rede de x=0 até x=2. O conteúdo é trabalho de força variável e vamos precisar usar integração, especialmente a fórmula integral dfracdxraiza^2-x^2=arcsinl(tfracxar)+C.

Passo 2

O trabalho W de uma força variável em uma dimensão é dado por W=integralxi^xfF(x),dx. Neste caso:
W=integral0^210raiz9-x^2,dx

Passo 3

Repare que podemos colocar a=3 pois 9=3^2. Assim
W=10integral0^2dxraiz3^2-x^2

Passo 4

e aplicamos a fórmula integral!dx/raiza^2-x^2=arcsin(x/a):
W=10l[arcsinl(tfracx3r)r]0^2=10l(arcsintfrac23-arcsin 0r)

Passo 5

Como arcsin0=0, ficamos com W=10,arcsinl(tfrac23r). Se quiser uma aproximação, arcsin(2/3)approx0,730 rad, então Wapprox7,30 J.

Resposta

10,\arcsin\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)J \approx 7{,}30J

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