2 ln (x+2)-12 ln x^4=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação para resolver:
2 ln (x+2) - 12 ln x^4 = 1
Isso envolve logaritmos naturais. Para resolver, vamos usar propriedades dos logaritmos para simplificar e achar o valor de $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os coeficientes que estão multiplicando os logaritmos. Lembra que $ a \ln b = \ln b^a $. Então aplicando isso:
a ln b = ln b^a
2 ln (x+2) = ln (x+2)^2
Agora, nossa equação fica:
12 ln x^4 = ln (x^4)^1/2 = ln x^2

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade que diz que $ \ln a - \ln b = \ln \left( \frac{a}{b} \right) $. Aplicando isso:
ln a - ln b = ln ( ab )

Passo 4

Para eliminar o logaritmo, vamos lembrar que se $ \ln A = B $, então $ A = e^{B} $. Assim:
ln A = B
A = e^B

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação para $ x $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ x^{2} $:
x
Expandindo o lado esquerdo:
x^2

Passo 6

Agora, vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
x^2 + 4x + 4 - e cdot x^2 = 0
(1 - e)x^2 + 4x + 4 = 0

Passo 7

Essa é uma equação quadrática do tipo $ ax^{2} + bx + c = 0 $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar $ x $:
ax^2 + bx + c = 0
Aqui, $ a = 1 - e $, $ b = 4 $, e $ c = 4 $.

Passo 8

Calculando o discriminante ($ \Delta $):
De
De
De
De

Passo 9

Agora, aplicando na fórmula de Bhaskara:
x = -4 pm raiz16e 2(1 - e)
x = -4 pm 4raize 2(1 - e)
x = -4(1 pm raize) 2(1 - e)
x = -2(1 pm raize) 1 - e

Passo 10

Podemos simplificar mais dividindo o numerador e o denominador por $ -1 $:
-1

Resposta

A solução da equação é:
x = 2(1 pm raize)e - 1

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