Em uma região costeira, uma corrente marinha transporta sedimentos ao longo do fundo do oceano. A força da corrente que age sobre uma partícula de sedimento em função da posição x (em metros) é modelada por:
F(x)=5+2 sin (pi x4) ( em Newtons )
onde x representa a posição do sedimento ao longo do fundo do mar.
Determine o trabalho realizado nos intervalos parciais: de x=0 a x=4 e de x=4 a x=8. O que isso indica sobre o transporte da partícula em diferentes trechos?

Passo 1

O enunciado dá a força que a corrente exerce na partícula em função da posição: F(x)=5+2sinl(tfracpi x4r). Precisamos calcular o trabalho em dois trechos: de x=0 a x=4 e de x=4 a x=8. O conteúdo é cálculo de trabalho por meio de integração de força ao longo do deslocamento.

Passo 2

Para calcular o trabalho usamos a definição W=integralx1^x2F(x),dx. Primeiro achamos a primitiva de F(x):
integrall(5 + 2sintfracpi x4r)dx = 5x - 8picosl(tfracpi x4r) + C

Passo 3

Agora avaliamos de 0 a 4:
W0to4 = l[5x - tfrac8picostfracpi x4r]0^4 = l(20 - tfrac8picospir) - l(0 - tfrac8picos0r) = 20 + tfrac16pi approx 25,09 J

Passo 4

Em seguida avaliamos de 4 a 8:
W4to8 = l[5x - tfrac8picostfracpi x4r]4^8 = l(40 - tfrac8picos2pir) - l(20 - tfrac8picospir) = 20 - tfrac16pi approx 14,91 J

Passo 5

Os trabalhos são positivos em ambos os trechos, indicando que a força resultante empurra a partícula na direção do deslocamento. Como W4to8 é menor que W0to4, o transporte da partícula é mais “eficiente” no primeiro trecho do que no segundo, devido à parte negativa do sin entre x=4 e x=8.

Resposta

W_{0\to4} = 20 + \tfrac{16}{\pi} \approx 25{,}09\ J; W_{4\to8} = 20 - \tfrac{16}{\pi} \approx 14{,}91\ J. Isso indica que a partícula recebe mais energia útil no primeiro trecho, transportando-se com maior intensidade ali do que no segundo.

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