Considere um cultivo contínuo de leveduras em um quimiostato, com \mu máx =0,45 \mathrm{~h}^{-1} e \mathrm{Ks}=0,25 \mathrm{~g} / \mathrm{L}. A concentração de substrato na alimentação é S_{0}=3,0 \mathrm{~g} / \mathrm{L} e o rendimento \mathrm{Yx} / \mathrm{s}=0,4 \mathrm{~g} / \mathrm{g}.
Determine:
a) A taxa de diluição ( \mathrm{D}_{\mathrm{m}} ) que proporciona a produtividade máxima;
b) O valor correspondente da biomassa \mathrm{X}_{\mathrm{m}} e da produtividade \mathrm{P}_{\mathrm{xm}}.

Passo 1

O enunciado dá um cultivo contínuo (quimiostato) com as seguintes informações:
  • taxa de crescimento máxima: \mu_{\max}=0,45\\ \mathrm{h^{-1}};
  • constante de Monod: K_s=0,25\\ \mathrm{g\;L^{-1}};
  • concentração de substrato na alimentação: S_0=3,0\\ \mathrm{g\;L^{-1}};
  • rendimento celular por substrato: Y_{x/s}=0,4\\ \mathrm{g\;biomassa/g\;substrato}.
O que se pede:
a) determinar a taxa de diluição \,D_m que proporciona a produtividade máxima de biomassa;
b) calcular a biomassa correspondente X_m e a produtividade máxima P_{x,m}.
Dados relevantes extraídos do enunciado: \mu_{\max}, K_s, S_0 e Y_{x/s}. A partir disso vamos usar o modelo de Monod e os balanços de estado estacionário para chemostato.

Passo 2

Relembrando as equações essenciais (vou explicar cada uma com calma):
  1. Lei de Monod (velocidade específica de crescimento):
\mu(S)=\mu_{\max}\,\frac{S}{K_s+S},
onde \mu(S) é a taxa específica de crescimento quando a concentração de substrato é S. Aqui \mu_{\max} e K_s já foram dados.
  1. Condição de estado estacionário no quimiostato para biomassa: em regime permanente a taxa específica de crescimento iguala a diluição:
\mu(S)=D.
Isto porque nasço e saio equilíbrio: crescimento da população compensa a perda por saída com o fluxo.
  1. Balanço de substrato em regime estacionário (assumindo consumo ligado ao crescimento e rendimento constante):
D(S_0-S)=\frac{\mu(S)}{Y_{x/s}}\,X.
Mas usando \mu(S)=D isso simplifica bastante. Além disso, uma relação muito usada e fácil de lembrar é:
X = Y_{x/s}\,(S_0-S).
Vou justificar: do balanço de substrato isolando X com \mu=D,
D(S_0-S)=\frac{D}{Y_{x/s}}X \quad\Rightarrow\quad X=Y_{x/s}(S_0-S).
  1. Definição de produtividade de biomassa (velocidade de produção volumétrica):
P_x = D\,X.
Essas quatro peças nos permitem escrever P_x em função de D apenas, e então buscar o D que maximiza P_x.

Passo 3

Expressar a concentração de substrato S em função de D. Da igualdade \mu(S)=D e da Monod temos:
D=\mu_{\max}\,\frac{S}{K_s+S}.
Isolando S:
D(K_s+S)=\mu_{\max}S
D K_s + D S = \mu_{\max} S
D K_s = (\mu_{\max}-D)S
\boxed{\,S=\frac{K_s D}{\mu_{\max}-D}\,}
Esta fórmula é útil: para cada D (menor que \mu_{\max}) dá o S estacionário correspondente.

Passo 4

Expressar X e P_x em função de D usando X=Y_{x/s}(S_0-S) e S da fórmula anterior.
Primeiro:
X(D)=Y_{x/s}\Big(S_0-\frac{K_s D}{\mu_{\max}-D}\Big).
Então a produtividade:
P_x(D)=D\,X(D)=D\,Y_{x/s}\Big(S_0-\frac{K_s D}{\mu_{\max}-D}\Big).
Para facilitar a diferenciação vou colocar em forma racional. Calcule o numerador comum:
P_x(D)=Y_{x/s}\,\frac{D\big(S_0(\mu_{\max}-D)-K_s D\big)}{\mu_{\max}-D}.
Multiplicando:
P_x(D)=Y_{x/s}\,\frac{D\mu_{\max}S_0 - D^2(S_0+K_s)}{\mu_{\max}-D}.
Nosso objetivo é maximizar P_x(D) para 0<D<\mu_{\max}.

Passo 5

Derivar P_x(D) em relação a D e igualar a zero. Como Y_{x/s}>0 é constante, resolvemos apenas
\frac{d}{dD}\left(\frac{N(D)}{\mu_{\max}-D}\right)=0,
onde
N(D)=D\mu_{\max}S_0 - D^2(S_0+K_s).
Usando a regra do quociente, a condição de ótimo (numerador da derivada igual a zero) é:
N'(D)(\mu_{\max}-D)+N(D)=0.
Calcular N'(D):
N'(D)=\mu_{\max}S_0 - 2D(S_0+K_s).
Substituindo:
\big(\mu_{\max}S_0 - 2D(S_0+K_s)\big)(\mu_{\max}-D) + \big(D\mu_{\max}S_0 - D^2(S_0+K_s)\big)=0.

Passo 6

Agora simplificamos a equação do passo anterior. Desenvolvendo os termos e cancelando os que aparecem com sinais opostos chegamos a uma equação quadrática simples em D:
Depois da expansão e simplificação obtemos
\mu_{\max}^2 S_0 - 2\mu_{\max}(S_0+K_s)D + (S_0+K_s)D^2 = 0.
Dividindo por (S_0+K_s) (positivo) resulta
D^2 - 2\mu_{\max}D + \mu_{\max}^2\frac{S_0}{S_0+K_s}=0.
Esta é uma quadrática padrão. Aplicando fórmula de Bhaskara obtemos as raízes:
D=\mu_{\max}\pm\mu_{\max}\sqrt{1-\frac{S_0}{S_0+K_s}}.
Simplificando a raiz:
1-\frac{S_0}{S_0+K_s}=\frac{K_s}{S_0+K_s},
logo
\boxed{\,D=\mu_{\max}\bigg(1\pm\sqrt{\frac{K_s}{S_0+K_s}}\bigg)\,.}

Passo 7

Escolher a raiz fisicamente correta. Note que \sqrt{\frac{K_s}{S_0+K_s}} é um número entre 0 e 1. Assim a solução com o sinal +
D=\mu_{\max}\big(1+\text{algo entre }0\text{ e }1\big)>\mu_{\max},
o que é impossível em estado estacionário (pois no quimiostato só faz sentido D<\mu_{\max}, caso contrário há lavagem total das células). Portanto a solução fisicamente válida é a com o sinal -:
\boxed{\,D_m=\mu_{\max}\Big(1-\sqrt{\frac{K_s}{S_0+K_s}}\Big)\,.}

Passo 8

Substituir os valores numéricos:
Calcular primeiro a raiz:
\sqrt{\frac{K_s}{S_0+K_s}}=\sqrt{\frac{0,25}{3,0+0,25}}=\sqrt{\frac{0,25}{3,25}}=\sqrt{0,076923\ldots}\approx 0,27735.
Logo
D_m=0,45\Big(1-0,27735\Big)=0,45\times 0,72265\approx 0,32519\\ \mathrm{h^{-1}}.
Arredondando razoavelmente obtemos \,D_m\approx 0,325\\ \mathrm{h^{-1}}.

Passo 9

Agora calculamos S_m (substrato no estado estacionário correspondente) e em seguida X_m e P_{x,m}.
Usando
S=\frac{K_s D}{\mu_{\max}-D},
com D=D_m:
S_m=\frac{0,25\times 0,32519}{0,45-0,32519}=\frac{0,081298}{0,12481}\approx 0,65104\\ \mathrm{g\;L^{-1}}.
Então a biomassa:
X_m=Y_{x/s}(S_0-S_m)=0,4\,(3,0-0,65104)=0,4\times 2,34896\approx 0,93958\\ \mathrm{g\;L^{-1}}.
Finalmente a produtividade máxima:
P_{x,m}=D_m\,X_m\approx 0,32519\times 0,93958\approx 0,30555\\ \mathrm{g\;L^{-1}\;h^{-1}}.
Arredondando para três algarismos significativos:
D_m\approx 0,325\\ \mathrm{h^{-1}},\quad X_m\approx 0,940\\ \mathrm{g\;L^{-1}},\quad P_{x,m}\approx 0,306\\ \mathrm{g\;L^{-1}\;h^{-1}}.

Resposta

D_m = 0,325\\ \mathrm{h^{-1}}
X_m = 0,940\\ \mathrm{g\;L^{-1}}
P_{x,m} = 0,306\\ \mathrm{g\;L^{-1}\;h^{-1}}

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