Considere um cultivo contínuo de leveduras em um quimiostato, com
máx
e
. A concentração de substrato na alimentação é
e o rendimento
.
Determine:
a) A taxa de diluição (
) que proporciona a produtividade máxima;
b) O valor correspondente da biomassa
e da produtividade
.
Determine:
a) A taxa de diluição (
b) O valor correspondente da biomassa
Passo 1
O enunciado dá um cultivo contínuo (quimiostato) com as seguintes informações:
- taxa de crescimento máxima:
; - constante de Monod:
; - concentração de substrato na alimentação:
; - rendimento celular por substrato:
.
O que se pede:
a) determinar a taxa de diluição que proporciona a produtividade máxima de biomassa;
b) calcular a biomassa correspondente e a produtividade máxima
.
a) determinar a taxa de diluição
b) calcular a biomassa correspondente
Dados relevantes extraídos do enunciado:
,
,
e
. A partir disso vamos usar o modelo de Monod e os balanços de estado estacionário para chemostato.
Passo 2
Relembrando as equações essenciais (vou explicar cada uma com calma):
- Lei de Monod (velocidade específica de crescimento):
onde
é a taxa específica de crescimento quando a concentração de substrato é
. Aqui
e
já foram dados.
- Condição de estado estacionário no quimiostato para biomassa: em regime permanente a taxa específica de crescimento iguala a diluição:
Isto porque nasço e saio equilíbrio: crescimento da população compensa a perda por saída com o fluxo.
- Balanço de substrato em regime estacionário (assumindo consumo ligado ao crescimento e rendimento constante):
Mas usando
isso simplifica bastante. Além disso, uma relação muito usada e fácil de lembrar é:
Vou justificar: do balanço de substrato isolando
com
,
- Definição de produtividade de biomassa (velocidade de produção volumétrica):
Essas quatro peças nos permitem escrever
em função de
apenas, e então buscar o
que maximiza
.
Passo 3
Expressar a concentração de substrato
em função de
. Da igualdade
e da Monod temos:
Isolando
:
Esta fórmula é útil: para cada
(menor que
) dá o
estacionário correspondente.
Passo 4
Expressar
e
em função de
usando
e
da fórmula anterior.
Primeiro:
Então a produtividade:
Para facilitar a diferenciação vou colocar em forma racional. Calcule o numerador comum:
Multiplicando:
Nosso objetivo é maximizar
para
.
Passo 5
Derivar
em relação a
e igualar a zero. Como
é constante, resolvemos apenas
onde
Usando a regra do quociente, a condição de ótimo (numerador da derivada igual a zero) é:
Calcular
:
Substituindo:
Passo 6
Agora simplificamos a equação do passo anterior. Desenvolvendo os termos e cancelando os que aparecem com sinais opostos chegamos a uma equação quadrática simples em
:
Depois da expansão e simplificação obtemos
Dividindo por
(positivo) resulta
Esta é uma quadrática padrão. Aplicando fórmula de Bhaskara obtemos as raízes:
Simplificando a raiz:
logo
Passo 7
Escolher a raiz fisicamente correta. Note que
é um número entre 0 e 1. Assim a solução com o sinal
dá
o que é impossível em estado estacionário (pois no quimiostato só faz sentido
, caso contrário há lavagem total das células). Portanto a solução fisicamente válida é a com o sinal
:
Passo 8
Substituir os valores numéricos:
Calcular primeiro a raiz:
Logo
Arredondando razoavelmente obtemos
Passo 9
Agora calculamos
(substrato no estado estacionário correspondente) e em seguida
e
.
Usando
com
:
Então a biomassa:
Finalmente a produtividade máxima:
Arredondando para três algarismos significativos: