Uma mistura gasosa contendo água ( \mathbf{H}_{\mathbf{2}} \mathbf{O} ), nitrogênio ( \mathbf{N}_{\mathbf{2}} ) e oxigênio ( \mathbf{O}_{\mathbf{2}} ) deve ser analisada.
As frações molares da mistura são:
\mathrm{Y}_{\mathrm{H} 2 \mathrm{O}}=0,015
\mathrm{Y}_{\mathrm{N} 2}=0,648
\mathrm{Y}_{\mathrm{O} 2}=0,337
As massas molares dos componentes são:
Água: \mathrm{MM}_{\mathrm{H} 2 \mathrm{O}}=18,02 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} Nitrogênio: \mathrm{MM}_{\mathrm{N} 2}=28,02 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} Oxigênio: \mathrm{MM}_{\mathrm{O} 2}=32,00 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}

Tarefas:

  1. Derive matematicamente a expressão que permite converter frações molares (Yi) em frações mássicas (Xi) em uma mistura multicomponente.
  2. Usando a equação obtida, calcule as frações mássicas de \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}, \mathrm{N}_{2} e \mathrm{O}_{2}.
  3. A partir das frações mássicas calculadas, retorne para frações molares, mostrando a consistência da conversão.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  1. Derivar matematicamente a expressão que converte frações molares \,Y_i\, em frações mássicas \,X_i\, numa mistura multicomponente.
  2. Usar essa expressão para calcular as frações mássicas de \mathrm{H_2O}, \mathrm{N_2} e \mathrm{O_2}.
  3. A partir das frações mássicas calculadas, retornar para frações molares e mostrar que a conversão é consistente.
Informações fornecidas (vou escrever cada dado exatamente como foi dado):
Y_{H_2O}=0,015,\quad Y_{N_2}=0,648,\quad Y_{O_2}=0,337
MM_{H_2O}=18{,}02\\ \mathrm{g/mol},\quad MM_{N_2}=28{,}02\\ \mathrm{g/mol},\quad MM_{O_2}=32{,}00\\ \mathrm{g/mol}

Passo 2

Derivação da expressão \,Y_i \to X_i (passo-a-passo e com explicação didática).
Definições e ideia básica (sem pular etapas):
  • Seja n_i o número de mols do componente i.
  • Seja m_i a massa do componente i.
  • A massa molar do componente i é \,MM_i (em \mathrm{g/mol}).
    Relação entre massa e mols:
m_i = n_i \cdot MM_i.
A fração molar de i é definida por
Y_i = \frac{n_i}{n_{\text{total}}},
onde n_{\text{total}}=\sum_j n_j. A fração mássica de i é
X_i = \frac{m_i}{m_{\text{total}}},
onde m_{\text{total}}=\sum_j m_j.
Escolha de uma base prática (truque muito usado em provas): tomar uma base de n_{\text{total}}=1 mol total da mistura. Isso é apenas escolha de referência — as frações não dependem da base. Com essa escolha:
n_i = Y_i\cdot 1 = Y_i.
Então a massa do componente i fica
m_i = n_i \cdot MM_i = Y_i \cdot MM_i.
A massa total da mistura é
m_{\text{total}} = \sum_j m_j = \sum_j \bigl(Y_j \cdot MM_j\bigr).
Finalmente, substituindo na definição de fração mássica:
X_i = \frac{m_i}{m_{\text{total}}} = \frac{Y_i \cdot MM_i}{\sum_j \bigl(Y_j \cdot MM_j\bigr)}.
Essa é a expressão geral pedida. Aqui i percorre todos os componentes da mistura e a soma no denominador é feita sobre todos os componentes j.
Observação didática: a fórmula diz que para obter a fração em massa você multiplica a fração molar pela massa molar do componente (isso dá a contribuição em massa por unidade de base) e normaliza dividindo pela massa total da base.

Passo 3

Aplicação numérica passo-a-passo para calcular as frações mássicas usando
X_i = \frac{Y_i \, MM_i}{\sum_j Y_j \, MM_j}.
  1. Calcular Y_i\,MM_i para cada componente (peguei os números do enunciado):
Y_{H_2O}\,MM_{H_2O} = 0,015 \times 18{,}02 = 0,2703
Y_{N_2}\,MM_{N_2} = 0,648 \times 28{,}02 = 18{,}15696
Y_{O_2}\,MM_{O_2} = 0,337 \times 32{,}00 = 10{,}784
  1. Somar para obter a massa total por 1 mol de base:
m_{\text{total}}=\sum_j Y_j\,MM_j = 0,2703 + 18{,}15696 + 10{,}784 = 29{,}21126.
  1. Agora calcular cada X_i:
X_{H_2O}=\frac{0,2703}{29{,}21126}=0,0092546\\ (\text{aprox.})
X_{N_2}=\frac{18{,}15696}{29{,}21126}=0,6215049\\ (\text{aprox.})
X_{O_2}=\frac{10{,}784}{29{,}21126}=0,3692405\\ (\text{aprox.})
  1. Verificação rápida (soma das frações mássicas deve ser 1):
0,0092546 + 0,6215049 + 0,3692405 \approx 1{,}0000000.
Comentário prático: arredondei os resultados para 7 casas decimais nos cálculos intermediários e apresentei 7 dígitos significativos para manter precisão visível; na prova você pode reportar menos casas (por ex. 4 significativas) conforme requerido.

Passo 4

Derivação e aplicação da fórmula inversa \,X_i \to Y_i (mostrar consistência).
Derivação (passo-a-passo): partimos da definição X_i = \dfrac{m_i}{m_{\text{total}}} e m_i = n_i\,MM_i. Então
X_i = \frac{n_i\,MM_i}{\sum_j n_j\,MM_j}.
Queremos Y_i=\dfrac{n_i}{n_{\text{total}}}. Note que n_i = \dfrac{m_i}{MM_i} = \dfrac{X_i\,m_{\text{total}}}{MM_i}. Para obter frações molares relativas, usamos
\frac{n_i}{\sum_j n_j} = \frac{\dfrac{X_i}{MM_i}}{\sum_j \dfrac{X_j}{MM_j}}.
Portanto a fórmula direta e prática é
Y_i = \frac{\dfrac{X_i}{MM_i}}{\displaystyle\sum_j \frac{X_j}{MM_j}}.
Interpretação: para voltar a frações molares você divide cada fração mássica pela massa molar daquele componente (isso dá a “quantidade de mols relativa”) e normaliza dividindo pela soma dessas quantidades relativas.
Aplicação numérica usando os X_i calculados no Passo 3:
  1. Calcular X_i / MM_i:
\frac{X_{H_2O}}{MM_{H_2O}} = \frac{0,0092546}{18{,}02} \approx 0,0005139
\frac{X_{N_2}}{MM_{N_2}} = \frac{0,6215049}{28{,}02} \approx 0,0221890
\frac{X_{O_2}}{MM_{O_2}} = \frac{0,3692405}{32{,}00} \approx 0,0115388
  1. Somar:
\sum_j \frac{X_j}{MM_j} \approx 0,0005139 + 0,0221890 + 0,0115388 = 0,0342417
  1. Calcular cada Y_i:
Y_{H_2O} = \frac{0,0005139}{0,0342417} \approx 0,01500
Y_{N_2} = \frac{0,0221890}{0,0342417} \approx 0,64799 \\ (\approx 0,648)
Y_{O_2} = \frac{0,0115388}{0,0342417} \approx 0,33699 \\ (\approx 0,337)
  1. Verificação: 0,01500 + 0,64799 + 0,33699 \approx 1{,}00000. Estes resultados coincidem (dentro do erro de arredondamento) com as frações molares iniciais dadas no enunciado, mostrando consistência da conversão.

Resposta

\displaystyle X_i=\frac{Y_i\,MM_i}{\sum_j Y_j\,MM_j}\n
\displaystyle X_{H_2O}=0,0092546,\quad X_{N_2}=0,6215049,\quad X_{O_2}=0,3692405\n
\displaystyle Y_{H_2O}=0,01500,\quad Y_{N_2}=0,64799,\quad Y_{O_2}=0,33699

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