Uma mistura gasosa contendo água (
), nitrogênio (
) e oxigênio (
) deve ser analisada.
As frações molares da mistura são:
As massas molares dos componentes são:
Água:
Nitrogênio:
Oxigênio:
Tarefas:
- Derive matematicamente a expressão que permite converter frações molares (Yi) em frações mássicas (Xi) em uma mistura multicomponente.
- Usando a equação obtida, calcule as frações mássicas de
e
.
- A partir das frações mássicas calculadas, retorne para frações molares, mostrando a consistência da conversão.
As frações molares da mistura são:
As massas molares dos componentes são:
Água:
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
- Derivar matematicamente a expressão que converte frações molares
em frações mássicas numa mistura multicomponente. - Usar essa expressão para calcular as frações mássicas de
, e . - A partir das frações mássicas calculadas, retornar para frações molares e mostrar que a conversão é consistente.
Informações fornecidas (vou escrever cada dado exatamente como foi dado):
Passo 2
Derivação da expressão
(passo-a-passo e com explicação didática).
Definições e ideia básica (sem pular etapas):
- Seja
o número de mols do componente . - Seja
a massa do componente . - A massa molar do componente
é (em ).
Relação entre massa e mols:
A fração molar de
é definida por
onde
. A fração mássica de
é
onde
.
Escolha de uma base prática (truque muito usado em provas): tomar uma base de
mol total da mistura. Isso é apenas escolha de referência — as frações não dependem da base. Com essa escolha:
Então a massa do componente
fica
A massa total da mistura é
Finalmente, substituindo na definição de fração mássica:
Essa é a expressão geral pedida. Aqui
percorre todos os componentes da mistura e a soma no denominador é feita sobre todos os componentes
.
Observação didática: a fórmula diz que para obter a fração em massa você multiplica a fração molar pela massa molar do componente (isso dá a contribuição em massa por unidade de base) e normaliza dividindo pela massa total da base.
Passo 3
Aplicação numérica passo-a-passo para calcular as frações mássicas usando
- Calcular
para cada componente (peguei os números do enunciado):
- Somar para obter a massa total por 1 mol de base:
- Agora calcular cada
:
- Verificação rápida (soma das frações mássicas deve ser 1):
Comentário prático: arredondei os resultados para 7 casas decimais nos cálculos intermediários e apresentei 7 dígitos significativos para manter precisão visível; na prova você pode reportar menos casas (por ex. 4 significativas) conforme requerido.
Passo 4
Derivação e aplicação da fórmula inversa
(mostrar consistência).
Derivação (passo-a-passo): partimos da definição
e
. Então
Queremos
. Note que
. Para obter frações molares relativas, usamos
Portanto a fórmula direta e prática é
Interpretação: para voltar a frações molares você divide cada fração mássica pela massa molar daquele componente (isso dá a “quantidade de mols relativa”) e normaliza dividindo pela soma dessas quantidades relativas.
Aplicação numérica usando os
calculados no Passo 3:
- Calcular
:
- Somar:
- Calcular cada
:
- Verificação:
. Estes resultados coincidem (dentro do erro de arredondamento) com as frações molares iniciais dadas no enunciado, mostrando consistência da conversão.