Considere a curva alpha:[0,+infty) R^2 dada por
alpha(t)=(2t^2+1-1, 2 tt^2+1), t >= 0
Encontre a função comprimento de arco s:[0,+infty) R.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar a função comprimento de arco s(t) da curva alpha(t)=l(tfrac21+t^2-1,,tfrac2t1+t^2r) pra t>=0. O conteúdo aqui é comprimento de curva paramétrica: a gente vai calcular alpha'(t), achar |alpha'(t)| e depois integrar de 0 até t.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada componente de alpha(t). A componente x(t)=tfrac21+t^2-1
x'(t)= -2cdot2t(1+t^2)^2 = -4t(1+t^2)^2,
e pra y(t)=tfrac2t1+t^2 usamos quociente:
y'(t)=2,(1+t^2)-2tcdot 2t(1+t^2)^2 = 2+2t^2-4t^2(1+t^2)^2 = 2(1-t^2)(1+t^2)^2

Passo 3

Agora a gente calcula |alpha'(t)|^2 = [x'(t)]^2+[y'(t)]^2. Substituindo:
|alpha'(t)|^2 = (-4t)^2 + [2(1-t^2)]^2(1+t^2)^4 = 16t^2 +4(1-2t^2+t^4)(1+t^2)^4 = 4(1+t^2)^2(1+t^2)^4 = 4(1+t^2)^2

Passo 4

Isso implica
|alpha'(t)| = 21+t^2

Passo 5

Por fim, a função comprimento de arco é
s(t)=integral0^t |alpha'(u)|,du = integral0^t 21+u^2,du = 2l[arctan(u)r]0^t = 2arctan(t)

Resposta

s(t)=2arctan(t).

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