Marque verdadeiro ou falso e justifique.
Se sumn=1^infty an diverge e an >= 0, para todo n, então sumn=1^infty raizan diverge.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas séries:
  • A primeira, sumn=1^infty an, que diverge.
  • A segunda, sumn=1^infty raizan, e queremos saber se ela também diverge.
O conteúdo envolvido aqui é o Teste de Comparação para séries infinitas, que nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série conhecida.

Passo 2

Primeiro, lembramos que se uma série sum an diverge e todos os termos an são não negativos ( an >= 0), então a soma não chega a um valor finito. Agora, queremos comparar isso com a série que envolve a raiz quadrada dos termos, sum raizan.

Passo 3

Vamos analisar como os termos raizan se comportam em relação aos termos an. Sabemos que:
  • Se an >= 1, então raizan <= an.
  • Se 0 <= an < 1, então raizan > an.
Isso significa que, para termos pequenos ( an < 1), a raiz quadrada torna o termo maior.

Passo 4

Agora, vamos usar o Teste de Comparação. Como sabemos que sum an diverge e raizan >= an para an < 1, a soma dos termos raizan será maior ou igual à soma dos termos an em eventual número de termos. Se a soma menor (a original) já diverge, a soma maior também deve divergir.

Passo 5

Portanto, concluímos que se sumn=1^infty an diverge e an >= 0 para todo n, então sumn=1^infty raizan também deve divergir.

Resposta

Verdadeiro. Se sum an diverge e an >= 0 para todo n, então sum raizan também diverge.

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