Marque verdadeiro ou falso e justifique.
Se
diverge e
, para todo
, então
diverge.
Se
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas séries:
- A primeira,
, que diverge. - A segunda,
, e queremos saber se ela também diverge.
O conteúdo envolvido aqui é o Teste de Comparação para séries infinitas, que nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série conhecida.
Passo 2
Primeiro, lembramos que se uma série
diverge e todos os termos
são não negativos (
), então a soma não chega a um valor finito. Agora, queremos comparar isso com a série que envolve a raiz quadrada dos termos,
.
Passo 3
Vamos analisar como os termos
se comportam em relação aos termos
. Sabemos que:
- Se
, então . - Se
, então .
Isso significa que, para termos pequenos (
), a raiz quadrada torna o termo maior.
Passo 4
Agora, vamos usar o Teste de Comparação. Como sabemos que
diverge e
para
, a soma dos termos
será maior ou igual à soma dos termos
em eventual número de termos. Se a soma menor (a original) já diverge, a soma maior também deve divergir.
Passo 5
Portanto, concluímos que se
diverge e
para todo
, então
também deve divergir.
Resposta
Verdadeiro. Se
diverge e
para todo
, então
também diverge.