Considere a curva
dada por
Mostre que a expressão da curva reparametrizada pelo comprimento de arco é
Passo 1
Temos a curva dada por
,
. O objetivo é reparametrizar pelo comprimento de arco: encontrar
, inverter essa relação para ter
e, por fim, mostrar que
.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas de
. Escrevendo
e
, temos
Então a velocidade é
Passo 3
O comprimento de arco até
é
Passo 4
Invertendo, obtemos a referência inversa
Passo 5
Agora substituímos
em
. Usando as fórmulas de ângulo duplo
chegamos a
Passo 6
Assim, a parametrização pelo comprimento de arco é exatamente a do círculo unitário, isto é,
.
Resposta
(\cos s,,\operatorname{sen} s)