Considere a curva alpha:[0,+infty) R^2 dada por
alpha(t)=(2t^2+1-1, 2 tt^2+1), t >= 0
Mostre que a expressão da curva reparametrizada pelo comprimento de arco é
alpha(s)=(cos s, sen s)

Passo 1

Temos a curva dada por alpha(t)=l(tfrac2t^2+1-1,,tfrac2tt^2+1r), t>=0. O objetivo é reparametrizar pelo comprimento de arco: encontrar s(t)=integral0^t|alpha'(u)|,du, inverter essa relação para ter t(s) e, por fim, mostrar que alpha(s)=(cos s,,sens).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de alpha. Escrevendo x(t)=tfrac1-t^21+t^2 e y(t)=tfrac2t1+t^2, temos
x'(t)=-4t(1+t^2)^2, y'(t)=2(1-t^2)(1+t^2)^2
Então a velocidade é
|alpha'(t)|=raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2=21+t^2

Passo 3

O comprimento de arco até t é
s(t)=integral0^t21+u^2,du=2arctan t

Passo 4

Invertendo, obtemos a referência inversa
t=tans2

Passo 5

Agora substituímos t=tan(s/2) em alpha(t). Usando as fórmulas de ângulo duplo
1-tan^2(tfracs2)1+tan^2(tfracs2)=cos s, 2tan(tfracs2)1+tan^2(tfracs2)=sin s,
chegamos a

Passo 6

Assim, a parametrização pelo comprimento de arco é exatamente a do círculo unitário, isto é, (cos s,,sin s).

Resposta

(\cos s,,\operatorname{sen} s)

Exercícios relacionados