Para as curvas alpha(t)=(cos t, sen t, t) e beta(t)=(t, t^2-2 t+1, t^3-3 t^2+3 t-1).
Encontre o ângulo que os vetores tangentes às curvas fazem no ponto de interseção P.

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar o ângulo entre os vetores tangentes das curvas α(t) e β(u) no ponto em que elas se cruzam. O conteúdo envolve derivadas de curvas em ℝ³ para obter vetores tangentes e uso de produto escalar para achar o ângulo entre eles.

Passo 2

Para achar o ponto de interseção P, igualamos α(t) a β(u). Isso gera o sistema
[\cos t = u, \quad \sin t = (u-1)^2, \quad t = (u-1)^3].

Passo 3

Observando o sistema, vemos que t=0 e u=1 satisfaz tudo, pois cos0=1, sin0=0, (1-1)^2=0 e (1-1)^3=0. Logo, P=α(0)=β(1)=(1,0,0).

Passo 4

Agora calculamos os vetores tangentes:
[α’(t)=(-\sin t,\ \cos t,\ 1), \quad β’(u)=(1,\ 2u-2,\ 3u^2-6u+3).]
Em t=0 e u=1 ficam α’(0)=(0,1,1) e β’(1)=(1,0,0).

Passo 5

Por fim, o ângulo θ entre os vetores é dado por cos θ=α'(0)·β'(1)|α'(0)||β'(1)|. O produto escalar é 0, as normas são |α'(0)|=raiz2 e |β'(1)|=1, então cos θ=0. Isso implica θ=π/2.

Resposta

pi2

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