Para as curvas
,
e
.
Encontre o ângulo que os vetores tangentes às curvas fazem no ponto de interseção
.
Encontre o ângulo que os vetores tangentes às curvas fazem no ponto de interseção
Passo 1
O enunciado pede para a gente encontrar o ângulo entre os vetores tangentes das curvas α(t) e β(u) no ponto em que elas se cruzam. O conteúdo envolve derivadas de curvas em ℝ³ para obter vetores tangentes e uso de produto escalar para achar o ângulo entre eles.
Passo 2
Para achar o ponto de interseção P, igualamos α(t) a β(u). Isso gera o sistema
[\cos t = u, \quad \sin t = (u-1)^2, \quad t = (u-1)^3].
[\cos t = u, \quad \sin t = (u-1)^2, \quad t = (u-1)^3].
Passo 3
Observando o sistema, vemos que t=0 e u=1 satisfaz tudo, pois
,
,
e
. Logo, P=α(0)=β(1)=(1,0,0).
Passo 4
Agora calculamos os vetores tangentes:
[α’(t)=(-\sin t,\ \cos t,\ 1), \quad β’(u)=(1,\ 2u-2,\ 3u^2-6u+3).]
Em t=0 e u=1 ficam α’(0)=(0,1,1) e β’(1)=(1,0,0).
[α’(t)=(-\sin t,\ \cos t,\ 1), \quad β’(u)=(1,\ 2u-2,\ 3u^2-6u+3).]
Em t=0 e u=1 ficam α’(0)=(0,1,1) e β’(1)=(1,0,0).
Passo 5
Por fim, o ângulo θ entre os vetores é dado por
. O produto escalar é 0, as normas são
e
, então
. Isso implica θ=π/2.