Encontre os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole e esboce seu gráfico.
y^225-x^29=1

Passo 1

Temos uma hipérbole dada por:
y^225-x^29=1
O conteúdo aqui é a forma reduzida de uma hipérbole com eixo transverso vertical. Para resolver, vamos precisar identificar os valores de a e b, usar c^2=a^2+b^2 para achar os focos e lembrar que as assíntotas são dadas por y=pmabx.

Passo 2

Como o termo y^2 aparece com sinal positivo, a hipérbole tem eixo transverso vertical. Logo, a^2=25 e b^2=9, ou seja, a=5 e b=3.

Passo 3

Os vértices ficam no centro mais/menos a ao longo do eixo y. Como o centro é (0,0), os vértices são:
(0,,5)e(0,,-5)

Passo 4

Para achar os focos, usamos c^2=a^2+b^2. Assim,
c^2=25+9=34Longrightarrow c=raiz34
Os focos estão também sobre o eixo y:
(0,,raiz34)e(0,,-raiz34)

Passo 5

As assíntotas de uma hipérbole vertical são
y=pmab,x=pm53x

Passo 6

Para esboçar o gráfico:
  1. Marque o centro em (0,0), os vértices em (0,5) e (0,-5) e os pontos de guia em (3,0) e (-3,0).
  2. Desenhe as retas-guia y=pmtfrac53x.
  3. Faça as curvas da hipérbole aproximando-se dessas retas, abrindo para cima e para baixo.

Resposta

Vértices: (0,5) e (0,-5); Focos: (0,raiz34) e (0,-raiz34); Assíntotas: y=tfrac53x e y=-tfrac53x.

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