Considere a curva
definida como
. Estude sua regularidade e seu traço.
Passo 1
O enunciado dá a curva
definida por
O que nos pedem:
- Estudar a regularidade de
: em que pontos (valores de ) a curva é regular (isto é, quando ) e quando não é. - Descrever o traço (imagem) da curva, isto é, o conjunto
.
Informações relevantes dadas: a definição explícita de
(componentes polinomiais
). Não foram dados valores específicos para
, então consideramos
arbitrário (pode ser um intervalo, todo
, etc.).
Passo 2
Lembrando a definição: uma curva
é regular em
se a derivada
existe e
(o vetor zero). Vamos calcular a derivada componente a componente.
Calculemos
. Como cada componente é
, sua derivada é
. Assim,
Agora,
(o vetor nulo) exatamente quando
, ou seja, quando
. Para todo
temos
e portanto
.
Conclusão sobre regularidade:
é regular para todo
com
, e não é regular em
(caso
). Observação didática: apesar de
ser uma aplicação polinomial (logo
), a condição de regularidade falha apenas em
devido ao fator
na derivada.
Passo 3
Interpretação geométrica do vetor tangente: para
o vetor tangente
é paralelo a
, pois
. Isso indica que geometricamente o traço da curva se situa numa reta de direção
. Em
o vetor tangente dado pela parametrização é
, logo a parametrização não fornece um vetor tangente baseado em derivada naquele ponto; geometricamente, entretanto, a reta que contém a imagem ainda tem direção
.
Passo 4
Descrever o traço (imagem)
. Para cada
a imagem é
. Se definirmos
, então a imagem é exatamente
onde
é a imagem de
pela função
. Como
é contínua e estritamente crescente em
, se
for um intervalo então
também é um intervalo; assim
é um segmento da reta diagonal
(poderá ser a reta inteira, um semirreta ou um segmento, dependendo de
).
Exemplos concretos:
- Se
então e a reta inteira diagonal. - Se
então e , um segmento da reta diagonal do ponto até .
Passo 5
Sobre reparametrização e “regularidade do traço”: embora a parametrização
não seja regular em
, a própria curva geométrica (o traço) é uma reta diagonal que admite parametrização regular. Por exemplo, definir
é uma parametrização do mesmo traço e tem derivada
logo
é regular. Observação técnica: a aplicação
é
e dá
; a inversa
existe e é contínua, mas sua derivada em
não é finita, então a inversa não é
em
. Isso explica por que
pode falhar em ser regular mesmo tendo uma parametrização regular do mesmo traço: a mudança de parâmetro não é difeomorfismo
globalmente.
Passo 6
Resumo didático e conclusão:
- Regularidade:
. Assim é regular para todo com , e não é regular em se . - Traço:
com . Geometricamente, o traço é parte da reta diagonal — pode ser a reta inteira, uma semirreta ou um segmento, conforme .
Resposta
O traço é