Considere a curva \alpha: I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida como \alpha(t)=\left(t^{3}, t^{3}, t^{3}\right). Estude sua regularidade e seu traço.

Passo 1

O enunciado dá a curva \alpha: I \subset \mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 definida por
\alpha(t)=\left(t^{3},t^{3},t^{3}\right).
O que nos pedem:
  • Estudar a regularidade de \alpha: em que pontos (valores de t) a curva é regular (isto é, quando \alpha'(t)\neq 0) e quando não é.
  • Descrever o traço (imagem) da curva, isto é, o conjunto \alpha(I)=\{\alpha(t):t\in I\}.
Informações relevantes dadas: a definição explícita de \alpha (componentes polinomiais t^3). Não foram dados valores específicos para I, então consideramos I arbitrário (pode ser um intervalo, todo \mathbb{R}, etc.).

Passo 2

Lembrando a definição: uma curva \alpha(t) é regular em t_0 se a derivada \alpha'(t_0) existe e \alpha'(t_0)\neq 0 (o vetor zero). Vamos calcular a derivada componente a componente.
Calculemos \alpha'(t). Como cada componente é t^3, sua derivada é 3t^2. Assim,
\alpha'(t)=\bigl(3t^{2},\,3t^{2},\,3t^{2}\bigr)=3t^{2}(1,1,1).
Agora, \alpha'(t)=0 (o vetor nulo) exatamente quando 3t^{2}=0, ou seja, quando t=0. Para todo t\neq 0 temos 3t^{2}>0 e portanto \alpha'(t)\neq 0.
Conclusão sobre regularidade: \alpha é regular para todo t\in I com t\neq 0, e não é regular em t=0 (caso 0\in I). Observação didática: apesar de \alpha ser uma aplicação polinomial (logo C^\infty), a condição de regularidade falha apenas em t=0 devido ao fator t^2 na derivada.

Passo 3

Interpretação geométrica do vetor tangente: para t\neq 0 o vetor tangente \alpha'(t) é paralelo a (1,1,1), pois \alpha'(t)=3t^{2}(1,1,1). Isso indica que geometricamente o traço da curva se situa numa reta de direção (1,1,1). Em t=0 o vetor tangente dado pela parametrização é \mathbf{0}, logo a parametrização não fornece um vetor tangente baseado em derivada naquele ponto; geometricamente, entretanto, a reta que contém a imagem ainda tem direção (1,1,1).

Passo 4

Descrever o traço (imagem) \alpha(I). Para cada t\in I a imagem é (t^{3},t^{3},t^{3}). Se definirmos s=t^{3}, então a imagem é exatamente
\alpha(I)=\{(s,s,s): s\in S\},
onde S=\{t^{3}:t\in I\} é a imagem de I pela função t\mapsto t^{3}. Como t\mapsto t^{3} é contínua e estritamente crescente em \mathbb{R}, se I for um intervalo então S também é um intervalo; assim \alpha(I) é um segmento da reta diagonal \{(x,y,z):x=y=z\} (poderá ser a reta inteira, um semirreta ou um segmento, dependendo de I).
Exemplos concretos:
  • Se I=\mathbb{R} então S=\mathbb{R} e \alpha(\mathbb{R})=\{(s,s,s):s\in\mathbb{R}\},a reta inteira diagonal.
  • Se I=[0,1] então S=[0,1] e \alpha(I)=\{(s,s,s):s\in[0,1]\}, um segmento da reta diagonal do ponto (0,0,0) até (1,1,1).

Passo 5

Sobre reparametrização e “regularidade do traço”: embora a parametrização \alpha(t) não seja regular em t=0, a própria curva geométrica (o traço) é uma reta diagonal que admite parametrização regular. Por exemplo, definir
\beta(s)=(s,s,s),\qquad s\in S=\{t^{3}:t\in I\},
é uma parametrização do mesmo traço e tem derivada
\beta'(s)=(1,1,1)\neq 0\quad\text{para todo }s\in S,
logo \beta é regular. Observação técnica: a aplicação t\mapsto s=t^{3} é C^{\infty} e dá \alpha(t)=\beta(t^{3}); a inversa s\mapsto t=s^{1/3} existe e é contínua, mas sua derivada em s=0 não é finita, então a inversa não é C^1 em 0. Isso explica por que \alpha pode falhar em ser regular mesmo tendo uma parametrização regular do mesmo traço: a mudança de parâmetro não é difeomorfismo C^1 globalmente.

Passo 6

Resumo didático e conclusão:
  • Regularidade: \alpha'(t)=3t^{2}(1,1,1). Assim \alpha é regular para todo t\in I com t\neq 0, e não é regular em t=0 se 0\in I.
  • Traço: \alpha(I)=\{(s,s,s):s\in S\} com S=\{t^{3}:t\in I\}. Geometricamente, o traço é parte da reta diagonal \{x=y=z\} — pode ser a reta inteira, uma semirreta ou um segmento, conforme I.

Resposta

\alpha'(t)=3t^{2}(1,1,1). Logo \alpha é regular para todo t\in I com t\neq 0 e não é regular em t=0 (se 0\in I).
O traço é \alpha(I)=\{(s,s,s):s\in S\} com S=\{t^{3}:t\in I\}, i.e., a parte da reta \{x=y=z\} correspondente à imagem do intervalo I pela função t\mapsto t^{3}.

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