Considere a curva
definida como
. Estude sua regularidade e calcule suas retas tangente e normal em
.
Passo 1
O enunciado dá a curva planar (embutida em
)
e pede:
- estudar a regularidade da curva (isto é, verificar se
é nulo para algum ); - calcular a reta tangente em
; - calcular a reta normal (reta normal principal) em
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- a curva está no plano
; - a coordenada radial pode ser vista como
com ângulo (forma polar ); - o ponto de interesse é
.
Passo 2
Vamos calcular a derivada
(passo básico para estudar regularidade). Para isso uso a regra do produto componente a componente. Escrevo primeiro em forma vetorial útil:
Diferenciando por
(produto
com
e
):
Calculo as derivadas:
Logo
Escrevendo por componentes:
Passo 3
Estudo da regularidade: a curva é regular se
para todo
(ou ao menos no domínio
dado). Observação útil: os vetores
e
formam uma base ortonormal no plano
. Na decomposição
os coeficientes da base ortonormal são
e
. Para que
ambos os coeficientes teriam de ser zero simultaneamente:
Isso é impossível (não existem
com
e
ao mesmo tempo). Portanto
ou seja, a curva é regular para todo
.
Passo 4
Agora avalio
e
em
. Primeiro os valores trigonométricos:
Posição:
Derivada em
: a expressão de
reduz quando
:
Substituindo
,
,
:
Como esse vetor é não nulo, confirma-se regularidade em
.
A reta tangente (forma paramétrica) em
passa por
e tem direção
. Assim, para parâmetro
:
Também é conveniente o versor tangente unitário
. Calculando a norma:
Logo
Passo 5
Cálculo da reta normal principal em
. Para encontrar a direção do vetor normal principal
podemos usar a aceleração
e projetá-la perpendicularmente a
. Já que a decomposição anterior fornece expressão simples, calculemos
.
Diferenciando a expressão compacta obtida em
Passo 6
Agora avalio em
(onde
,
):
Observação importante: o produto interno
vale
Portanto
já é ortogonal a
, isto é, está alinhado com o normal principal. Assim a direção do normal principal é dada por
. A norma de
é
assim o versor normal é
A reta normal principal em
passa por
e tem direção
. Forma paramétrica (parâmetro
):
Resposta
A curva é regular para todo
.
Reta tangente em
:
Reta normal principal em
: