Considere a curva \alpha: I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida como \alpha(t)=(\operatorname{sen} 3 t \cos t, \operatorname{sen} 3 t \operatorname{sen} t, 0). Estude sua regularidade e calcule suas retas tangente e normal em t=\pi / 3.

Passo 1

O enunciado dá a curva planar (embutida em \mathbb{R}^3)
\alpha(t)=\big(\sin(3t)\cos t,\;\sin(3t)\sin t,\;0\big)
e pede:
  • estudar a regularidade da curva (isto é, verificar se \alpha'(t) é nulo para algum t);
  • calcular a reta tangente em t=\pi/3;
  • calcular a reta normal (reta normal principal) em t=\pi/3.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • a curva está no plano z=0;
  • a coordenada radial pode ser vista como r(t)=\sin(3t) com ângulo t (forma polar (r,\theta)=(\sin(3t),t));
  • o ponto de interesse é t_0=\pi/3.

Passo 2

Vamos calcular a derivada \alpha'(t) (passo básico para estudar regularidade). Para isso uso a regra do produto componente a componente. Escrevo primeiro em forma vetorial útil:
\alpha(t)=\sin(3t)\,(\cos t,\sin t,0).
Diferenciando por t (produto r(t)u(t) com r(t)=\sin(3t) e u(t)=(\cos t,\sin t,0)):
\alpha'(t)=r'(t)u(t)+r(t)u'(t).
Calculo as derivadas:
r'(t)=3\cos(3t), \qquad u'(t)=(-\sin t,\cos t,0).
Logo
\alpha'(t)=3\cos(3t)\,(\cos t,\sin t,0)+\sin(3t)\,(-\sin t,\cos t,0).
Escrevendo por componentes:
\alpha'(t)=\big(3\cos(3t)\cos t-\sin(3t)\sin t,\;3\cos(3t)\sin t+\sin(3t)\cos t,\;0\big).

Passo 3

Estudo da regularidade: a curva é regular se \alpha'(t)\neq(0,0,0) para todo t (ou ao menos no domínio I dado). Observação útil: os vetores (\cos t,\sin t,0) e (-\sin t,\cos t,0) formam uma base ortonormal no plano z=0. Na decomposição
\alpha'(t)=3\cos(3t)\,(\cos t,\sin t,0)+\sin(3t)\,(-\sin t,\cos t,0),
os coeficientes da base ortonormal são 3\cos(3t) e \sin(3t). Para que \alpha'(t)=(0,0,0) ambos os coeficientes teriam de ser zero simultaneamente:
3\cos(3t)=0\quad\text{e}\quad \sin(3t)=0.
Isso é impossível (não existem t com \cos(3t)=0 e \sin(3t)=0 ao mesmo tempo). Portanto
\alpha'(t)\neq(0,0,0)\quad\text{para todo }t,
ou seja, a curva é regular para todo t\in I.

Passo 4

Agora avalio \alpha e \alpha' em t_0=\pi/3. Primeiro os valores trigonométricos:
3t_0=\pi,\qquad \sin(3t_0)=\sin\pi=0,\qquad \cos(3t_0)=\cos\pi=-1.
Posição:
\alpha\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\big(\sin(3t_0)\cos t_0,\;\sin(3t_0)\sin t_0,\;0\big)=(0,0,0).
Derivada em t_0: a expressão de \alpha'(t) reduz quando \sin(3t_0)=0:
\alpha'\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=3\cos(3t_0)\,(\cos t_0,\sin t_0,0).
Substituindo \cos(3t_0)=-1, \cos t_0=\tfrac{1}{2}, \sin t_0=\tfrac{\sqrt{3}}{2}:
\alpha'\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=3(-1)\Big(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2},0\Big)=\Big(-\tfrac{3}{2},-\tfrac{3\sqrt{3}}{2},0\Big).
Como esse vetor é não nulo, confirma-se regularidade em t=\pi/3.
A reta tangente (forma paramétrica) em t_0 passa por \alpha(t_0)=(0,0,0) e tem direção \alpha'(t_0). Assim, para parâmetro s\in\mathbb{R}:
\text{reta tangente: }\;L_T(s)=\Big(-\tfrac{3}{2}s,\;-\tfrac{3\sqrt{3}}{2}s,\;0\Big).
Também é conveniente o versor tangente unitário \mathbf{T}(t_0)=\dfrac{\alpha'(t_0)}{\|\alpha'(t_0)\|}. Calculando a norma:
\|\alpha'(t_0)\|=\sqrt{\Big(-\tfrac{3}{2}\Big)^2+\Big(-\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\Big)^2} =\sqrt{\tfrac{9}{4}+\tfrac{27}{4}}=\sqrt{\tfrac{36}{4}}=3.
Logo
\mathbf{T}\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\Big(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{3}}{2},0\Big).

Passo 5

Cálculo da reta normal principal em t_0. Para encontrar a direção do vetor normal principal \mathbf{N}(t_0) podemos usar a aceleração \alpha''(t) e projetá-la perpendicularmente a \mathbf{T}. Já que a decomposição anterior fornece expressão simples, calculemos \alpha''(t).
Diferenciando a expressão compacta obtida em

Passo 6

\alpha''(t)=-10\sin(3t)\,(\cos t,\sin t,0)+6\cos(3t)\,(-\sin t,\cos t,0).
Agora avalio em t_0=\pi/3 (onde \sin(3t_0)=0, \cos(3t_0)=-1):
\alpha''\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=6(-1)\,(-\sin t_0,\cos t_0,0) = -6(-\tfrac{\sqrt{3}}{2},\tfrac{1}{2},0)=(3\sqrt{3},-3,0).
Observação importante: o produto interno \alpha''(t_0)\cdot\mathbf{T}(t_0) vale
(3\sqrt{3},-3,0)\cdot\Big(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{3}}{2},0\Big) = -\tfrac{3\sqrt{3}}{2}+ \tfrac{3\sqrt{3}}{2}=0.
Portanto \alpha''(t_0) já é ortogonal a \mathbf{T}(t_0), isto é, está alinhado com o normal principal. Assim a direção do normal principal é dada por \alpha''(t_0). A norma de \alpha''(t_0) é
\|\alpha''(t_0)\|=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+(-3)^2}=\sqrt{27+9}=6,
assim o versor normal é
\mathbf{N}\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\frac{\alpha''(t_0)}{\|\alpha''(t_0)\|} =\Big(\tfrac{\sqrt{3}}{2},-\tfrac{1}{2},0\Big).
A reta normal principal em t_0 passa por \alpha(t_0)=(0,0,0) e tem direção \mathbf{N}(t_0). Forma paramétrica (parâmetro s\in\mathbb{R}):
\text{reta normal: }\;L_N(s)=\Big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}s,\;-\tfrac{1}{2}s,\;0\Big).

Resposta

A curva é regular para todo t\in I.
Reta tangente em t=\pi/3:
\{(x,y,z)=\big(-\tfrac{3}{2}s,\,-\tfrac{3\sqrt{3}}{2}s,\,0\big)\;:\;s\in\mathbb{R}\}.
Reta normal principal em t=\pi/3:
\{(x,y,z)=\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}s,\,-\tfrac{1}{2}s,\,0\big)\;:\;s\in\mathbb{R}\}.

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