Considere a curva
definida como
. Estude sua regularidade e seu traço.
Passo 1
O enunciado dá a curva
definida por
Pede-se estudar:
- a regularidade de
(isto é, verificar se para todo ); - o traço (imagem)
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- as duas primeiras coordenadas são iguais, ambas iguais à função
; - a terceira coordenada é sempre zero (a curva está contida no plano
); - o domínio é um intervalo
(pode ser todo ou outro intervalo qualquer).
Passo 2
Definição prática de regularidade que vamos usar: uma curva
é regular em
se a sua derivada
for o vetor nulo? Não — se
. Então precisamos calcular
.
Calculemos a derivada coordenada a coordenada (derivada de
é
, e da constante
é
):
Factorizando:
Observe que para todo
vale
, logo
nunca é zero. Assim
é sempre um múltiplo escalar não nulo do vetor
, e portanto não é o vetor nulo para nenhum
.
Conclusão de regularidade: para qualquer intervalo
temos
para todo
. Em outras palavras,
é regular em todo o seu domínio
.
Comentário intuitivo (para ajudar na prova): a direção do vetor tangente é sempre a mesma,
, apenas o comprimento do vetor tangente muda com
. Isso já sugere que a curva é uma reta (veremos isso no traço).
Passo 3
Agora estudar o traço
. Definimos
por
Então
. Logo a imagem é
ou seja,
está contida na reta
(reta do plano
com equação
).
Para saber se a imagem é toda a reta
(por exemplo quando
), estudamos as propriedades de
. Calculemos
. Como já vimos,
para todo
, portanto
é estritamente crescente. Além disso, sendo um polinômio de grau ímpar com coeficiente líder positivo, tem
Pelo Teorema do Valor Intermediário unido à monotonicidade, concluímos que
é bijetora de
sobre
. Logo, se
então
e
ou seja, a imagem é exatamente a reta
.
Se
for um subintervalo qualquer, então
, que é o trecho da reta
correspondente ao intervalo
. Como
é estritamente crescente,
é injectiva em todo
(e em qualquer intervalo
) — não há auto-intersecções.
Passo 4
Para reforçar que a curva é, de fato, una reta geométrica, podemos calcular a curvatura (fórmula prática): a curvatura
é proporcional ao módulo do produto vetorial
. Calculemos
:
Os vetores
e
são paralelos (ambos são múltiplos de
), logo
e assim a curvatura
para todo
. Curvatura zero significa que a curva é uma linha reta (sem curvatura), confirmando o resultado do passo anterior.
Resposta
Regularidade:
é regular em todo
(pois
para todo
).
Traço: , onde
. Em particular, se
então
(a reta
).
Traço: