Considere a curva \alpha: I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida como \alpha(t)=\left(t^{3}+t, t^{3}+t, 0\right). Estude sua regularidade e seu traço.

Passo 1

O enunciado dá a curva \alpha:I\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 definida por
\alpha(t)=\big(t^{3}+t,\;t^{3}+t,\;0\big).
Pede-se estudar:
  • a regularidade de \alpha (isto é, verificar se \alpha'(t)\neq 0 para todo t\in I);
  • o traço (imagem) \alpha(I)=\{\alpha(t):t\in I\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • as duas primeiras coordenadas são iguais, ambas iguais à função f(t)=t^3+t;
  • a terceira coordenada é sempre zero (a curva está contida no plano z=0);
  • o domínio é um intervalo I\subset\mathbb{R} (pode ser todo \mathbb{R} ou outro intervalo qualquer).

Passo 2

Definição prática de regularidade que vamos usar: uma curva \alpha(t) é regular em t se a sua derivada \alpha'(t) for o vetor nulo? Não — se \alpha'(t)\neq(0,0,0). Então precisamos calcular \alpha'(t).
Calculemos a derivada coordenada a coordenada (derivada de t^3+t é 3t^2+1, e da constante 0 é 0):
\alpha'(t)=\big(3t^{2}+1,\;3t^{2}+1,\;0\big).
Factorizando:
\alpha'(t)=(3t^{2}+1)\,(1,1,0).
Observe que para todo t\in\mathbb{R} vale 3t^{2}+1\ge 1>0, logo 3t^{2}+1 nunca é zero. Assim \alpha'(t) é sempre um múltiplo escalar não nulo do vetor (1,1,0), e portanto não é o vetor nulo para nenhum t.
Conclusão de regularidade: para qualquer intervalo I\subset\mathbb{R} temos \alpha'(t)\neq(0,0,0) para todo t\in I. Em outras palavras, \alpha é regular em todo o seu domínio I.
Comentário intuitivo (para ajudar na prova): a direção do vetor tangente é sempre a mesma, (1,1,0), apenas o comprimento do vetor tangente muda com t. Isso já sugere que a curva é uma reta (veremos isso no traço).

Passo 3

Agora estudar o traço \alpha(I). Definimos f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} por
f(t)=t^{3}+t.
Então \alpha(t)=(f(t),f(t),0). Logo a imagem é
\alpha(I)=\big\{(s,s,0)\;:\;s\in f(I)\big\},
ou seja, \alpha(I) está contida na reta L=\{(u,u,0):u\in\mathbb{R}\} (reta do plano z=0 com equação y=x).
Para saber se a imagem é toda a reta L (por exemplo quando I=\mathbb{R}), estudamos as propriedades de f. Calculemos f'(t)=3t^{2}+1. Como já vimos, f'(t)>0 para todo t, portanto f é estritamente crescente. Além disso, sendo um polinômio de grau ímpar com coeficiente líder positivo, tem
\lim_{t\to -\infty} f(t)=-\infty,\qquad \lim_{t\to +\infty} f(t)=+\infty.
Pelo Teorema do Valor Intermediário unido à monotonicidade, concluímos que f é bijetora de \mathbb{R} sobre \mathbb{R}. Logo, se I=\mathbb{R} então f(I)=\mathbb{R} e
\alpha(\mathbb{R})=\{(u,u,0):u\in\mathbb{R}\}=L,
ou seja, a imagem é exatamente a reta y=x,\\ z=0.
Se I for um subintervalo qualquer, então \alpha(I)=\{(s,s,0):s\in f(I)\}, que é o trecho da reta L correspondente ao intervalo f(I)\subset\mathbb{R}. Como f é estritamente crescente, \alpha é injectiva em todo \mathbb{R} (e em qualquer intervalo I) — não há auto-intersecções.

Passo 4

Para reforçar que a curva é, de fato, una reta geométrica, podemos calcular a curvatura (fórmula prática): a curvatura \kappa(t) é proporcional ao módulo do produto vetorial \alpha'(t)\times\alpha''(t). Calculemos \alpha''(t):
\alpha''(t)=\big(6t,6t,0\big)=6t\,(1,1,0).
Os vetores \alpha'(t) e \alpha''(t) são paralelos (ambos são múltiplos de (1,1,0)), logo \alpha'(t)\times\alpha''(t)=(0,0,0) e assim a curvatura \kappa(t)=0 para todo t. Curvatura zero significa que a curva é uma linha reta (sem curvatura), confirmando o resultado do passo anterior.

Resposta

Regularidade: \alpha é regular em todo I (pois \alpha'(t)=(3t^{2}+1)(1,1,0)\neq(0,0,0) para todo t\in I).
Traço: \displaystyle \alpha(I)=\big\{(s,s,0):s\in f(I)\big\}, onde f(t)=t^{3}+t. Em particular, se I=\mathbb{R} então \displaystyle \alpha(\mathbb{R})=\{(u,u,0):u\in\mathbb{R}\} (a reta y=x,\\ z=0).

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