Considere a curva \alpha: I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida como \alpha(t)=\left(t^{3}, 0,0\right). Estude sua regularidade e seu traço.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva \alpha: I \subset \mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 definida por
\alpha(t)=\bigl(t^{3},0,0\bigr).
As perguntas são:
  • Estudar a regularidade de \alpha (ou seja, identificar para quais t\in I a curva é regular/irregular).
  • Determinar o traço (imagem) de \alpha, isto é o conjunto \alpha(I)=\{\alpha(t):t\in I\}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A curva é dada componente a componente; a segunda e a terceira componentes são sempre 0.
  • O domínio é um intervalo (ou subconjunto) I\subset\mathbb{R}, não especificado explicitamente — portanto as conclusões devem ser escritas em função de I.

Passo 2

O que significa “regularidade” no contexto de curvas paramétricas? Vou explicar devagar: para uma curva \alpha(t) de classe C^1, o vetor velocidade (ou vetor tangente) é a derivada \alpha'(t). Um ponto t_0 do domínio é chamado regular se o vetor velocidade em t_0 for diferente do vetor zero. A curva é dita regular em um conjunto se for regular em todos os pontos desse conjunto. Em símbolos: t_0 regular \Leftrightarrow \alpha'(t_0)\neq(0,0,0).
Agora calculamos a derivada de \alpha componente a componente. Como a derivada de t^3 é 3t^2, tem-se
\alpha'(t)=\bigl(3t^{2},0,0\bigr).

Passo 3

Analisando \alpha'(t)=\bigl(3t^{2},0,0\bigr): este vetor é o vetor zero exatamente quando todas as componentes são zero. A segunda e a terceira componentes são sempre 0, então resta checar a primeira componente 3t^{2}.
  • 3t^{2}=0 se, e somente se, t=0.
  • Para todo t\neq 0, tem-se 3t^{2}>0, logo \alpha'(t)\neq(0,0,0).
Portanto:
  • Cada ponto t\in I com t\neq 0 é um ponto regular.
  • O ponto t=0 (se pertence a I) é um ponto singular (não regular), porque \alpha'(0)=(0,0,0).

Passo 4

Interpretação prática (isso ajuda na prova): se 0\in I então a curva não é regular em todo I (há uma única singularidade em t=0); se 0\notin I então \alpha é regular em todo I. Em outras palavras:
  • \alpha é regular em I se, e somente se, 0\notin I.
  • Mesmo quando 0\in I a curva é regular em I\setminus\{0\}.
Exemplo concreto para fixar: se I=\mathbb{R}, então \alpha'(t)\neq 0 para t\neq 0 e \alpha'(0)=0; logo há uma singularidade apenas em t=0.

Passo 5

Agora vamos ao traço (imagem) da curva. Por definição,
\alpha(I)=\{\bigl(t^{3},0,0\bigr)\;:\;t\in I\}.
Esse conjunto está contido no eixo x-real (eixo dos primeiros componentes). É útil escrever a imagem como
\alpha(I)=\{(x,0,0)\;:\;x\in J\}, \qquad\text{onde}\qquad J=\{t^{3}:t\in I\}.
Algumas observações importantes e fáceis de entender:
  • A função t\mapsto t^{3} é estritamente crescente e contínua em \mathbb{R}. Isso significa que, se I for um intervalo, então J será também um intervalo (o “cubo” de I). Por exemplo, se I=\mathbb{R} então J=\mathbb{R} e a imagem é todo o eixo x: \alpha(\mathbb{R})=\{(x,0,0):x\in\mathbb{R}\}.
  • Se I for, digamos, (0,\infty), então J=(0,\infty) e a imagem é a parte positiva do eixo x.
  • Se 0\in I a origem (0,0,0) pertence ao traço; se 0\notin I a origem não pertence.
  • A parametrização \alpha é injetora porque t^{3} é injetora (valores diferentes de t dão coordenadas x diferentes). Logo cada ponto da imagem corresponde a um único parâmetro t.

Passo 6

Comentário geométrico final e intuitivo (para você lembrar na prova): a curva é simplesmente um trecho do eixo x (uma “reta” degenerada em \mathbb{R}^3 com y=z=0). A singularidade em t=0 é apenas um problema da parametrização (o vetor velocidade ali é nulo), não um “canto” geométrico na imagem — a imagem é lisa (reta) em (0,0,0). Se for preciso trabalhar com uma parametrização regular do mesmo traço, basta usar a parametrização padrão \beta(u)=(u,0,0) com domínio u\in J; essa \beta tem \beta'(u)=(1,0,0)\neq 0 para todo u.

Resposta

Regularidade: \alpha'(t)=\bigl(3t^{2},0,0\bigr), portanto \alpha é regular para todo t\in I com t\neq 0 e é singular em t=0. Em particular, \alpha é regular em I sse 0\notin I.
Traço: \displaystyle \alpha(I)=\{(t^{3},0,0):t\in I\}=\{(x,0,0):x\in J\}, onde J=\{t^{3}:t\in I\}. Em especial, se I=\mathbb{R} então \alpha(I)=\{(x,0,0):x\in\mathbb{R}\} (todo o eixo x).

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