Considere a curva
definida como
. Estude sua regularidade e seu traço.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva
definida por
As perguntas são:
- Estudar a regularidade de
(ou seja, identificar para quais a curva é regular/irregular). - Determinar o traço (imagem) de
, isto é o conjunto .
Informações relevantes fornecidas:
- A curva é dada componente a componente; a segunda e a terceira componentes são sempre
. - O domínio é um intervalo (ou subconjunto)
, não especificado explicitamente — portanto as conclusões devem ser escritas em função de .
Passo 2
O que significa “regularidade” no contexto de curvas paramétricas? Vou explicar devagar: para uma curva
de classe
, o vetor velocidade (ou vetor tangente) é a derivada
. Um ponto
do domínio é chamado regular se o vetor velocidade em
for diferente do vetor zero. A curva é dita regular em um conjunto se for regular em todos os pontos desse conjunto. Em símbolos:
regular
.
Agora calculamos a derivada de
componente a componente. Como a derivada de
é
, tem-se
Passo 3
Analisando
: este vetor é o vetor zero exatamente quando todas as componentes são zero. A segunda e a terceira componentes são sempre
, então resta checar a primeira componente
.
-
se, e somente se, . - Para todo
, tem-se , logo .
Portanto:
- Cada ponto
com é um ponto regular. - O ponto
(se pertence a ) é um ponto singular (não regular), porque .
Passo 4
Interpretação prática (isso ajuda na prova): se
então a curva não é regular em todo
(há uma única singularidade em
); se
então
é regular em todo
. Em outras palavras:
-
é regular em se, e somente se, . - Mesmo quando
a curva é regular em .
Exemplo concreto para fixar: se
, então
para
e
; logo há uma singularidade apenas em
.
Passo 5
Agora vamos ao traço (imagem) da curva. Por definição,
Esse conjunto está contido no eixo
-real (eixo dos primeiros componentes). É útil escrever a imagem como
Algumas observações importantes e fáceis de entender:
- A função
é estritamente crescente e contínua em . Isso significa que, se for um intervalo, então será também um intervalo (o “cubo” de ). Por exemplo, se então e a imagem é todo o eixo : . - Se
for, digamos, , então e a imagem é a parte positiva do eixo . - Se
a origem pertence ao traço; se a origem não pertence. - A parametrização
é injetora porque é injetora (valores diferentes de dão coordenadas diferentes). Logo cada ponto da imagem corresponde a um único parâmetro .
Passo 6
Comentário geométrico final e intuitivo (para você lembrar na prova): a curva é simplesmente um trecho do eixo
(uma “reta” degenerada em
com
). A singularidade em
é apenas um problema da parametrização (o vetor velocidade ali é nulo), não um “canto” geométrico na imagem — a imagem é lisa (reta) em
. Se for preciso trabalhar com uma parametrização regular do mesmo traço, basta usar a parametrização padrão
com domínio
; essa
tem
para todo
.
Resposta
Regularidade:
, portanto
é regular para todo
com
e é singular em
. Em particular,
é regular em
sse
.
Traço:
, onde
. Em especial, se
então
(todo o eixo
).