Seja
uma curva dada por:
onde
uma constante. Mostre que
é uma curva regular, calcule o triedro de Frenet
, a curvaturach
e a torçãa
. ( 3,0 pontos)
onde
Passo 1
O enunciado dá a curva
definida por
com
. O que se pede:
- Mostrar que
é regular (isto é, para todo ). - Calcular o triedro de Frenet
(vetores unitários tangente, normal principal e binormal). - Calcular a curvatura
. - Calcular a torção
.
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de
. Não há outras restrições.
Passo 2
Verificar regularidade — calcular a derivada
e a velocidade
.
Derivando componente a componente:
Agora a norma (velocidade):
Agrupando termos em
e
:
Como
para todo
, concluímos que
é regular. Observação útil: a velocidade é constante igual a
.
Passo 3
Calcular o vetor tangente unitário
. Definição:
.
Dividindo
por
:
Aqui cada componente foi dividida por
. Isto é o vetor tangente unitário.
Passo 4
Calcular a curvatura
. Fórmula prática para curva em
:
Então precisamos de
e do produto vetorial
.
Derivando
:
Agora o produto vetorial
. Para facilitar, escreva
e
. Então
Calculemos a componente a componente:
- Componente
(primeira):
- Componente
(segunda):
- Componente
(terceira):
Logo
A norma desse vetor é
Substituindo na fórmula da curvatura, lembrando
:
Portanto a curvatura é constante:
.
Breve explicação do conceito: a curvatura mede quanto a curva “desvia” localmente de uma linha reta; aqui é constante, sinal de uma curva com curvatura uniforme.
Passo 5
Calcular o vetor normal principal
. Procedimento prático:
é a normalização de
. Fórmula:
.
Como
é constante, temos
e portanto
Escrevendo
dividido por
:
Calculemos a norma de
:
Como
, temos
. Portanto
Observação: a relação geral também vale
. Aqui
, por isso
.
Passo 6
Calcular o binormal
. Podemos também normalizar
já calculado; ambos darão o mesmo resultado (vetor unitário).
Usando o produto
, normalizamos:
Verificação (usando
) dá o mesmo vetor. Note que
é constante (não depende de
) — isto indica que a curva é planar (o plano normal a
contém a curva).
Passo 7
Calcular a torção
. Fórmula conveniente usando derivadas:
Já temos
e
. Calculamos
(derivada de
):
Mas há uma observação útil: o numerador é o produto escalar
. Como
, temos
Portanto o numerador é zero para todo
. Como o denominador
é positivo, segue que
Interpretação: torção zero significa que a curva é plana (está contida em algum plano fixo). Isso concorda com o fato de
ser constante.