Seja \alpha: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} uma curva dada por:
\alpha(t)=(4 \cos t, 5-5 \operatorname{sen} t,-3 \cos t),
onde t \in \mathbb{R} uma constante. Mostre que \alpha é uma curva regular, calcule o triedro de Frenet \{T, N, B\}, a curvaturach (t) e a torçãa \tau(t). ( 3,0 pontos)

Passo 1

O enunciado dá a curva \alpha:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 definida por
\alpha(t)=\bigl(4\cos t,\;5-5\sin t,\;-3\cos t\bigr),
com t\in\mathbb{R}. O que se pede:
  • Mostrar que \alpha é regular (isto é, \alpha'(t)\neq0 para todo t).
  • Calcular o triedro de Frenet \{T,N,B\} (vetores unitários tangente, normal principal e binormal).
  • Calcular a curvatura \kappa(t).
  • Calcular a torção \tau(t).
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de \alpha(t). Não há outras restrições.

Passo 2

Verificar regularidade — calcular a derivada \alpha'(t) e a velocidade \|\alpha'(t)\|.
Derivando componente a componente:
\alpha'(t)=\bigl(-4\sin t,\;-5\cos t,\;3\sin t\bigr).
Agora a norma (velocidade):
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{(-4\sin t)^2+(-5\cos t)^2+(3\sin t)^2} =\sqrt{16\sin^2 t+25\cos^2 t+9\sin^2 t}.
Agrupando termos em \sin^2 t e \cos^2 t:
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{(16+9)\sin^2 t+25\cos^2 t} =\sqrt{25\sin^2 t+25\cos^2 t} =\sqrt{25\bigl(\sin^2 t+\cos^2 t\bigr)}=5.
Como \|\alpha'(t)\|=5>0 para todo t, concluímos que \alpha é regular. Observação útil: a velocidade é constante igual a 5.

Passo 3

Calcular o vetor tangente unitário T(t). Definição: T(t)=\dfrac{\alpha'(t)}{\|\alpha'(t)\|}.
Dividindo \alpha'(t) por 5:
T(t)=\left(-\frac{4}{5}\sin t,\; -\cos t,\; \frac{3}{5}\sin t\right).
Aqui cada componente foi dividida por 5. Isto é o vetor tangente unitário.

Passo 4

Calcular a curvatura \kappa(t). Fórmula prática para curva em \mathbb{R}^3:
\kappa(t)=\frac{\|\alpha'(t)\times\alpha''(t)\|}{\|\alpha'(t)\|^3}.
Então precisamos de \alpha''(t) e do produto vetorial \alpha'\times\alpha''.
Derivando \alpha'(t):
\alpha''(t)=\bigl(-4\cos t,\;5\sin t,\;3\cos t\bigr).
Agora o produto vetorial \alpha'(t)\times\alpha''(t). Para facilitar, escreva s=\sin t e c=\cos t. Então
\alpha'(t)=(-4s,\,-5c,\,3s),\qquad \alpha''(t)=(-4c,\,5s,\,3c).
Calculemos a componente a componente:
  • Componente i (primeira):
(-5c)(3c)-(3s)(5s)=-15c^2-15s^2=-15.
  • Componente j (segunda):
(3s)(-4c)-(-4s)(3c)=-12sc+12sc=0.
  • Componente k (terceira):
(-4s)(5s)-(-5c)(-4c)=-20s^2-20c^2=-20.
Logo
\alpha'(t)\times\alpha''(t)=(-15,\;0,\;-20).
A norma desse vetor é
\|\alpha'\times\alpha''\|=\sqrt{(-15)^2+0^2+(-20)^2}=\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25.
Substituindo na fórmula da curvatura, lembrando \|\alpha'\|=5:
\kappa(t)=\frac{25}{5^3}=\frac{25}{125}=\frac{1}{5}.
Portanto a curvatura é constante: \kappa(t)=\dfrac{1}{5}.
Breve explicação do conceito: a curvatura mede quanto a curva “desvia” localmente de uma linha reta; aqui é constante, sinal de uma curva com curvatura uniforme.

Passo 5

Calcular o vetor normal principal N(t). Procedimento prático: N é a normalização de T'(t). Fórmula: N(t)=\dfrac{T'(t)}{\|T'(t)\|}.
Como \|\alpha'\| é constante, temos T(t)=\dfrac{\alpha'(t)}{5} e portanto
T'(t)=\frac{\alpha''(t)}{5}.
Escrevendo \alpha''(t) dividido por 5:
T'(t)=\left(-\frac{4}{5}\cos t,\; \sin t,\; \frac{3}{5}\cos t\right).
Calculemos a norma de T'(t):
\|T'(t)\|=\sqrt{\left(-\frac{4}{5}\cos t\right)^2+(\sin t)^2+\left(\frac{3}{5}\cos t\right)^2} =\sqrt{\frac{16}{25}\cos^2 t+\sin^2 t+\frac{9}{25}\cos^2 t} =\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t}=1.
Como \|T'(t)\|=1, temos N(t)=T'(t). Portanto
N(t)=\left(-\frac{4}{5}\cos t,\; \sin t,\; \frac{3}{5}\cos t\right).
Observação: a relação geral também vale T'=\kappa\|\alpha'\| N. Aqui \kappa\|\alpha'\|=(1/5)\cdot5=1, por isso T'=N.

Passo 6

Calcular o binormal B(t)=T(t)\times N(t). Podemos também normalizar \alpha'\times\alpha'' já calculado; ambos darão o mesmo resultado (vetor unitário).
Usando o produto \alpha'\times\alpha''=(-15,0,-20), normalizamos:
B(t)=\frac{\alpha'(t)\times\alpha''(t)}{\|\alpha'(t)\times\alpha''(t)\|} =\frac{(-15,0,-20)}{25}=\left(-\frac{3}{5},\;0,\;-\frac{4}{5}\right).
Verificação (usando T\times N) dá o mesmo vetor. Note que B(t) é constante (não depende de t) — isto indica que a curva é planar (o plano normal a B contém a curva).

Passo 7

Calcular a torção \tau(t). Fórmula conveniente usando derivadas:
\tau(t)=\frac{\det\!\bigl(\alpha'(t),\alpha''(t),\alpha'''(t)\bigr)}{\|\alpha'(t)\times\alpha''(t)\|^2}.
Já temos \alpha'(t) e \alpha''(t). Calculamos \alpha'''(t) (derivada de \alpha''):
\alpha'''(t)=\bigl(4\sin t,\;5\cos t,\;-3\sin t\bigr).
Mas há uma observação útil: o numerador é o produto escalar (\alpha'(t)\times\alpha''(t))\cdot\alpha'''(t). Como \alpha'(t)\times\alpha''(t)=(-15,0,-20), temos
(\alpha'\times\alpha'')\cdot\alpha''' = (-15)\cdot(4\sin t)+0\cdot(5\cos t)+(-20)\cdot(-3\sin t) = -60\sin t +60\sin t = 0.
Portanto o numerador é zero para todo t. Como o denominador \|\alpha'\times\alpha''\|^2=25^2 é positivo, segue que
\tau(t)=0.
Interpretação: torção zero significa que a curva é plana (está contida em algum plano fixo). Isso concorda com o fato de B(t) ser constante.

Resposta

\alpha é regular, pois \|\alpha'(t)\|=5>0 para todo t.
T(t)=\displaystyle\left(-\frac{4}{5}\sin t,\; -\cos t,\; \frac{3}{5}\sin t\right)
N(t)=\displaystyle\left(-\frac{4}{5}\cos t,\; \sin t,\; \frac{3}{5}\cos t\right)
B(t)=\displaystyle\left(-\frac{3}{5},\;0,\;-\frac{4}{5}\right)
\kappa(t)=\displaystyle\frac{1}{5}
\tau(t)=0

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