Considere a curva
definida por
.
(a) Determine o comprimento total da curva.
(b) Para
, determine as acelerações tangencial e normal, a curvatura, a torção e o triedro de Frenet.
(a) Determine o comprimento total da curva.
(b) Para
Passo 1
Temos a curva
dada por
. O conteúdo aqui é Geometria de Curvas no Espaço: vamos usar a definição de comprimento de arco, as fórmulas do triedro de Frenet (
), curvatura
, torção
e a decomposição da aceleração em componentes tangencial e normal.
Passo 2
Primeiro calculemos a velocidade
e seu módulo, pois isso é essencial tanto para o comprimento de arco quanto para a curvatura.
Como
ou seja, a velocidade é constante.
Passo 3
O comprimento total da curva é
[L=\int_{-\pi/2}{\pi/2}|\alpha’(t)|,dt=\int_{-\pi/2}{\pi/2}\sqrt5,dt=\sqrt5\bigl[t\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2}=\pi\sqrt5.
Passo 4
Para a parte (b), precisamos de
e
:
Passo 5
A curvatura é
Calculando o produto vetorial
$$\alpha’(t)\times\alpha’’(t)=(4\cos2t,
-4\sin2t,-8),
\kappa=\frac{4\sqrt5}{(\sqrt5)^3}=\frac{4}{5}.$$
Passo 6
A aceleração é
. Como a velocidade é constante temos a componente tangencial
A componente normal satisfaz (a_N=\kappa,|\alpha’|^2=(4/5)\cdot5=4.]
Passo 7
A torção é
$$\tau(t)=\frac{(\alpha’(t)\times\alpha’’(t))\cdot\alpha’’’(t)}{|\alpha’(t)\times\alpha’’(t)|^2}.
Passo 8
Para montar o triedro de Frenet em
:
Tângente unitário
Tângente unitário
Normale unitário: note que
Binormal
Resposta
(a)
.
(b) Em :
(b) Em