Considere a curva alpha:[-pi / 2, pi / 2] R^3 definida por alpha(t)=(sen 2 t, cos 2 t, t).
(a) Determine o comprimento total da curva.
(b) Para t=0, determine as acelerações tangencial e normal, a curvatura, a torção e o triedro de Frenet.

Passo 1

Temos a curva alpha:[-pi/2,pi/2]to R^3 dada por alpha(t)=(sin2t,cos2t,t). O conteúdo aqui é Geometria de Curvas no Espaço: vamos usar a definição de comprimento de arco, as fórmulas do triedro de Frenet ( T,N,B), curvatura kappa, torção tau e a decomposição da aceleração em componentes tangencial e normal.

Passo 2

Primeiro calculemos a velocidade alpha'(t) e seu módulo, pois isso é essencial tanto para o comprimento de arco quanto para a curvatura.
alpha'(t)=(2cos2t,,-2sin2t,,1)
Como cos^2 2t+sin^2 2t=1, temos
|alpha'(t)|=raiz(2cos2t)^2+(-2sin2t)^2+1^2=raiz4+1=raiz5,
ou seja, a velocidade é constante.

Passo 3

O comprimento total da curva é
[L=\int_{-\pi/2}{\pi/2}|\alpha’(t)|,dt=\int_{-\pi/2}{\pi/2}\sqrt5,dt=\sqrt5\bigl[t\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2}=\pi\sqrt5.

Passo 4

Para a parte (b), precisamos de alpha''(t) e alpha'''(t):
alpha''(t)=(-4sin2t,,-4cos2t,,0),
alpha'''(t)=(-8cos2t,,8sin2t,,0)

Passo 5

A curvatura é
kappa(t)=|alpha'(t)timesalpha''(t)||alpha'(t)|^3
Calculando o produto vetorial
$$\alpha’(t)\times\alpha’’(t)=(4\cos2t,
-4\sin2t,-8), alpha'(t)timesalpha''(t)=(4cos2t, -4sin2t,-8),óé\kappa=\frac{4\sqrt5}{(\sqrt5)^3}=\frac{4}{5}.$$

Passo 6

A aceleração é alpha''(t). Como a velocidade é constante temos a componente tangencial
aT=ddt|alpha'(t)|=0
A componente normal satisfaz (a_N=\kappa,|\alpha’|^2=(4/5)\cdot5=4.]

Passo 7

A torção é
$$\tau(t)=\frac{(\alpha’(t)\times\alpha’’(t))\cdot\alpha’’’(t)}{|\alpha’(t)\times\alpha’’(t)|^2}.
tau(t)=(alpha'(t)timesalpha''(t))cdotalpha'''(t)|alpha'(t)timesalpha''(t)|^2 ã\tau=-\frac{32}{80}=-\frac{2}{5}.$$

Passo 8

Para montar o triedro de Frenet em t=0:
Tângente unitário
T(0)=alpha'(0)|alpha'(0)|=l(2raiz5,0,1raiz5r)
Normale unitário: note que alpha''(0)=(0,-4,0) é perpendicular a alpha'(0), então
N(0)=alpha''(0)|alpha''(0)|=(0,-1,0)
Binormal
B(0)=T(0)times N(0)=l(1raiz5,0,-2raiz5r)

Resposta

(a) L=piraiz5.
(b) Em t=0:
aT=0, aN=4, kappa=4/5, tau=-2/5,
T(0)=(2/raiz5,0,1/raiz5), N(0)=(0,-1,0), B(0)=(1/raiz5,0,-2/raiz5)

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