Considere a curva alpha: R R^3 definida por alpha(t)=(cos t, cos t, raiz2 sen t).
(a) Verifique que o traço de alpha está contido num plano e determine a torção em cada instante.
(b) Calcule a curvatura em cada instante t. O que pode concluir sobre o traço de alpha ?
© Determine o triedro de Frenet em cada instante.
(d) Determine as coordenadas de cada um dos vetores T^prime(0), N^prime(0) e B^prime(0) na base bF formada pelo triedro no instante t=0.

Passo 1

O enunciado dá a curva alpha(t)=(cos t,,cos t,,raiz2sin t) em R^3 e pede: (a) verificar que ela é planar e achar a torção; (b) calcular a curvatura e deduzir algo sobre o traço; © obter o triedro de Frenet (T,N,B); (d) expressar T'(0),N'(0),B'(0) na base (T(0),N(0),B(0)). Vamos usar as definições de curvatura, torção e triedro de Frenet.

Passo 2

Para (a) vemos que os dois primeiros componentes são iguais, então x=y para todo t; isso mostra que o traço está contido no plano x - y = 0. Como o traço é planar, a torção é zero em todo instante: tau(t)=0.

Passo 3

Para (b) calculamos alpha'(t)=(-sin t, -sin t, raiz2cos t) e alpha''(t)=(-cos t,-cos t,-raiz2sin t). O produto vetorial dá alpha'timesalpha''=(raiz2,-raiz2,0) com norma 2, e |alpha'(t)|=raiz2 constante. Assim
kappa(t)=|alpha'timesalpha''||alpha'|^3=2(raiz2)^3=1raiz2,,

Passo 4

que é constante. Concluímos que o traço é uma curva de curvatura constante numa reta/plano, ou seja, é (parte de) um círculo de raio raiz2.

Passo 5

Para © o vetor tangente unitário é
T(t)=alpha'(t)|alpha'(t)|=l(-sin traiz2,-sin traiz2,cos tr)

Passo 6

Como em parâmetro t vale dT/ds=(1/|alpha'|)T' e achamos que T'(t)=(-cos t/raiz2,-cos t/raiz2,-sin t) tem norma 1, segue que o vetor normal principal unitário é
N(t)=T'(t)=l(-cos traiz2,-cos traiz2,-sin tr)

Passo 7

O binormal é B=Ttimes N, levando a
B(t)=l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2,0r)

Passo 8

Para (d) usamos as fórmulas de Frenet no parâmetro t:
T'=kappa,|alpha'|,N=N,, N'=-kappa,|alpha'|,T+tau,|alpha'|,B=-T,, B'=-tau,|alpha'|,N=0

Passo 9

Assim em t=0:
T'(0)=N(0), N'(0)=-T(0), B'(0)=0

Passo 10

Logo, na base (T(0),N(0),B(0)) as coordenadas são respectivamente (0,1,0), (-1,0,0) e (0,0,0).

Resposta

(a) O traço está no plano x−y=0 e τ(t)=0 para todo t.
(b) κ(t)=1/√2 constante, logo o traço é um círculo de raio √2.
© T(t)=(-sen t/√2,-sen t/√2,cos t), N(t)=(-cos t/√2,-cos t/√2,-sen t), B(t)=(1/√2,-1/√2,0).
(d) Em t=0, T’(0)=N(0), N’(0)=-T(0), B’(0)=0, cujas coordenadas na base (T(0),N(0),B(0)) são (0,1,0), (−1,0,0) e (0,0,0), respectivamente.

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