Considere a curva
definida por
.
(a) Verifique que o traço de
está contido num plano e determine a torção em cada instante.
(b) Calcule a curvatura em cada instante
. O que pode concluir sobre o traço de
?
© Determine o triedro de Frenet em cada instante.
(d) Determine as coordenadas de cada um dos vetores
e
na base
formada pelo triedro no instante
.
(a) Verifique que o traço de
(b) Calcule a curvatura em cada instante
© Determine o triedro de Frenet em cada instante.
(d) Determine as coordenadas de cada um dos vetores
Passo 1
O enunciado dá a curva
em
e pede: (a) verificar que ela é planar e achar a torção; (b) calcular a curvatura e deduzir algo sobre o traço; © obter o triedro de Frenet
; (d) expressar
na base
. Vamos usar as definições de curvatura, torção e triedro de Frenet.
Passo 2
Para (a) vemos que os dois primeiros componentes são iguais, então
para todo
; isso mostra que o traço está contido no plano
. Como o traço é planar, a torção é zero em todo instante:
.
Passo 3
Para (b) calculamos
e
. O produto vetorial dá
com norma
, e
constante. Assim
Passo 4
que é constante. Concluímos que o traço é uma curva de curvatura constante numa reta/plano, ou seja, é (parte de) um círculo de raio
.
Passo 5
Para © o vetor tangente unitário é
Passo 6
Como em parâmetro
vale
e achamos que
tem norma
, segue que o vetor normal principal unitário é
Passo 7
O binormal é
, levando a
Passo 8
Para (d) usamos as fórmulas de Frenet no parâmetro
:
Passo 9
Assim em
:
Passo 10
Logo, na base
as coordenadas são respectivamente
,
e
.
Resposta
(a) O traço está no plano x−y=0 e τ(t)=0 para todo t.
(b) κ(t)=1/√2 constante, logo o traço é um círculo de raio √2.
© T(t)=(-sen t/√2,-sen t/√2,cos t), N(t)=(-cos t/√2,-cos t/√2,-sen t), B(t)=(1/√2,-1/√2,0).
(d) Em t=0, T’(0)=N(0), N’(0)=-T(0), B’(0)=0, cujas coordenadas na base (T(0),N(0),B(0)) são (0,1,0), (−1,0,0) e (0,0,0), respectivamente.
(b) κ(t)=1/√2 constante, logo o traço é um círculo de raio √2.
© T(t)=(-sen t/√2,-sen t/√2,cos t), N(t)=(-cos t/√2,-cos t/√2,-sen t), B(t)=(1/√2,-1/√2,0).
(d) Em t=0, T’(0)=N(0), N’(0)=-T(0), B’(0)=0, cujas coordenadas na base (T(0),N(0),B(0)) são (0,1,0), (−1,0,0) e (0,0,0), respectivamente.