Determine os comprimentos das seguintes curvas definidas em coordenadas polares por:
(a)
;
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede pra gente calcular o comprimento de duas curvas dadas em coordenadas polares, ou seja, curvar(t) = (r(t),θ(t)) sobre 0≤t≤π. O conteúdo aqui é o comprimento de curva paramétrica em coordenadas polares, e a gente vai usar a fórmula que envolve dr/dt e r·dθ/dt.
Passo 2
A fórmula geral para o comprimento L de uma curva polar r(t), θ(t), t∈[a,b], é:
[ L = \int_a^b \sqrt{\Bigl(\frac{dr}{dt}\Bigr)^2 + \bigl(r(t),\theta’(t)\bigr)^2},dt.
Vamos então identificar e
em cada caso.
Vamos então identificar
Passo 3
Para a curva (a), temos
e
. Calculando
$$ \frac{dr}{dt} = -\cos\frac t2\sin\frac t2 = -\tfrac12\sin t,
Passo 4
Para a curva (b), temos
e
. Calculando
$$ \frac{dr}{dt} = 2^t\ln2,
Resposta
Para (a) o comprimento é
. Para (b) o comprimento é
.