Determine os comprimentos das seguintes curvas definidas em coordenadas polares por:
(a) theta(t)=t, r(t)=cos ^2 t2, 0 <= t <= pi;
(b) theta(t)=t, r(t)=2^t, 0 <= t <= pi.

Passo 1

O enunciado pede pra gente calcular o comprimento de duas curvas dadas em coordenadas polares, ou seja, curvar(t) = (r(t),θ(t)) sobre 0≤t≤π. O conteúdo aqui é o comprimento de curva paramétrica em coordenadas polares, e a gente vai usar a fórmula que envolve dr/dt e r·dθ/dt.

Passo 2

A fórmula geral para o comprimento L de uma curva polar r(t), θ(t), t∈[a,b], é:
[ L = \int_a^b \sqrt{\Bigl(\frac{dr}{dt}\Bigr)^2 + \bigl(r(t),\theta’(t)\bigr)^2},dt.
Vamos então identificar dr/dt e theta'(t) em cada caso.

Passo 3

Para a curva (a), temos r(t)=cos^2tfrac t2 e theta'(t)=1. Calculando
$$ \frac{dr}{dt} = -\cos\frac t2\sin\frac t2 = -\tfrac12\sin t,
drdt = -cos t2sin t2 = -tfrac12sin t, ã \sqrt{\Bigl(-\tfrac12\sin t\Bigr)^2 + \cos^4\frac t2} = \sqrt{\tfrac14\sin^2 t + \cos^4\frac t2}.
raizl(-tfrac12sin tr)^2 + cos^4 t2 = raiztfrac14sin^2 t + cos^4 t2 éá L_a = \int_0^\pi \cos\frac t2,dt = \bigl[2\sin\tfrac t2\bigr]_0^\pi = 2.$$

Passo 4

Para a curva (b), temos r(t)=2^t e theta'(t)=1. Calculando
$$ \frac{dr}{dt} = 2^t\ln2,
drdt = 2^tln2, é \sqrt{(2t\ln2)2 + (2t)2} = 2t\sqrt{(\ln2)2 +1}.
raiz(2^tln2)^2 + (2^t)^2 = 2^traiz(ln2)^2 +1 L_b = \int_0^\pi 2t\sqrt{1+(\ln2)2},dt = \sqrt{1+(\ln2)2}\int_0\pi 2^t,dt = \sqrt{1+(\ln2)2},\frac{2\pi-1}{\ln2}.$$

Resposta

Para (a) o comprimento é 2. Para (b) o comprimento é 2^pi-1ln2,raiz1+(ln2)^2.

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