Determine T(t) e N(t), para cada uma das seguintes curvas:
(a) c(t)=(raizt^2+1, t), t in R ;
(b) c(t)=(t^3-1,-t^2).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o vetor tangente unitário T(t) e o vetor normal unitário N(t) para cada curva plana dada, usando as fórmulas
T(t)=dfracc'(t)|c'(t)|
N(t)=dfracT'(t)|T'(t)|

Passo 2

Para (a) c(t)=(raizt^2+1,,t):
  1. Derivada:
c'(t)=l(traizt^2+1,;1r)
  1. Velocidade (norma):
|c'(t)|=raizt^2t^2+1+1=raiz2t^2+1t^2+1
  1. Vetor tangente unitário:
T(t)=c'(t)|c'(t)|=iggl(traiz2t^2+1,;raizt^2+1raiz2t^2+1gr) 
  1. Derivada de T(t) e normalização:
    Após calcular T'(t)=l(,(2t^2+1)^-3/2,;-tfractraizt^2+1,(2t^2+1)^3/2r) e sua norma, obtém-se
N(t)=gl(raizt^2+1raiz2t^2+1,;-traiz2t^2+1gr)

Passo 3

Para (b) c(t)=(t^3-1,,-t^2):
  1. Derivada:
c'(t)=(3t^2,,-2t)
  1. Velocidade:
|c'(t)|=raiz9t^4+4t^2=|t|raiz9t^2+4
  1. Vetor tangente unitário:
T(t)=(3t^2,-2t)|t|raiz9t^2+4
  1. Derivada de T(t) e normalização:
    Para, por exemplo, t>0 (situação análoga vale para t<0), chega-se a
N(t)=gl(2raiz9t^2+4,;3traiz9t^2+4gr)

Resposta

(a) (T(t)=\Bigl(\tfrac{t}{\sqrt{2t2+1}},,\tfrac{\sqrt{t2+1}}{\sqrt{2t^2+1}}\Bigr),\quad N(t)=\Bigl(\tfrac{\sqrt{t2+1}}{\sqrt{2t2+1}},,-\tfrac{t}{\sqrt{2t^2+1}}\Bigr).\n(b) \displaystyle T(t)=\frac{(3t2,-2t)}{|t|\sqrt{9t2+4}},\quad N(t)=\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt{9t2+4}},,\tfrac{3t}{\sqrt{9t2+4}}\Bigr).

Exercícios relacionados