Usando uma parametrização adequada da circunferência em R^2, de raio r e centro na origem, calcule o seu perímetro.

Passo 1

Neste exercício, queremos calcular o perímetro de uma circunferência de raio r e centro na origem em R^2. Para isso, vamos usar uma parametrização adequada e aplicar a fórmula de comprimento de curva para funções vetoriais.

Passo 2

Uma parametrização clássica da circunferência de raio r e centro na origem é dada por
gamma(t) = (x(t),y(t)) = (rcos t,,rsin t),
com t variando de 0 até 2pi.

Passo 3

Calculamos a derivada da parametrização em relação a t:
gamma'(t) = l(-rsin t,,rcos tr)
Em seguida, encontramos o módulo dessa derivada, que será a velocidade da curva:
|gamma'(t)| = raiz(-rsin t)^2 + (rcos t)^2 = raizr^2(sin^2 t + cos^2 t) = r

Passo 4

O comprimento L da curva é dado pela integral do módulo da derivada ao longo do intervalo de parametrização. Assim, temos
L = integral0^2pi |gamma'(t)|,dt = integral0^2pi r,dt

Passo 5

Para concluir, basta calcular a integral:
L = r integral0^2pi dt = rl[ t r]0^2pi = 2pi r

Resposta

O perímetro da circunferência de raio r é 2pi r.

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