Seja \alpha: I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma curva regular e L \subset \mathbb{R}^{2} uma reta. Suponhamos que existe t_{0} \in I tal que
\operatorname{Distância}(\alpha(t), L) \geq \operatorname{Distância}\left(\alpha\left(t_{0}\right), L\right)>0, \forall t \in I \text {. }
Prove que a reta tangente a \alpha em t=t_{0} é paralela a L.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
Dado: \alpha: I \subset \mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 é uma curva regular (ou seja, \alpha é diferenciável e \alpha'(t)\neq 0 para todo t\in I).
Dado: L\subset\mathbb{R}^2 é uma reta.
Dado: existe t_0\in I tal que\operatorname{Distância}(\alpha(t),L)\ge \operatorname{Distância}\bigl(\alpha(t_0),L\bigr)>0,\qquad \forall t\in I.Ou seja, a distância de \alpha(t) a L atinge um mínimo global em t=t_0, e esse mínimo é estritamente positivo.
Pedido: provar que a reta tangente a \alpha em t=t_0 é paralela a L.
Passo 2
Escolher uma descrição conveniente da reta L.
Como L é uma reta em \mathbb{R}^2, existe um vetor unitário n\in\mathbb{R}^2 perpendicular a L e um escalar c\in\mathbb{R} tais queL=\{x\in\mathbb{R}^2:\langle x,n\rangle = c\}.Aqui \langle\cdot,\cdot\rangle denota o produto interno euclideano e n é escolhido com \|n\|=1. (Construção: pegue um ponto p_0\in L e um vetor direção v de L; escolha n com n\perp v e \|n\|=1; então c=\langle p_0,n\rangle.)
Passo 3
Expressar a distância ponto–reta em termos do produto interno com n.
Para qualquer ponto x\in\mathbb{R}^2 a distância de x a L é dada por\operatorname{Distância}(x,L)=\bigl|\langle x,n\rangle - c\bigr|.Explicação curta: a projeção ortogonal de x em L tem coordenada \langle x,n\rangle na direção normal, e como n é unitário a diferença \langle x,n\rangle-c mede exatamente a distância algébrica; tomando valor absoluto obtém-se a distância geométrica.
Passo 4
Definir funções escalares ao longo da curva que representem essa distância.
Definaf(t)=\langle \alpha(t),n\rangle,\qquad t\in I.Então, usando a fórmula da etapa anterior,\operatorname{Distância}\bigl(\alpha(t),L\bigr)=\bigl|f(t)-c\bigr|.â
Como \alpha é diferenciável e o produto interno é uma forma linear, f é diferenciável. Defina também a funçãog(t)=\bigl(f(t)-c\bigr)^2=\bigl(\operatorname{Distância}(\alpha(t),L)\bigr)^2.âA função g é diferenciável em I (composição e soma de funções diferenciáveis).
Passo 5
Usar a condição de mínimo e derivar a informação sobre g'(t_0).
Pelas hipóteses, g(t)\ge g(t_0) para todo t\in I e g(t_0)>0. Em particular, t_0 é um ponto de mínimo (pelo menos local) de g.
Se t_0 for ponto interior de I, então pelo teorema de Fermat para funções diferenciáveis temosg'(t_0)=0.(Se t_0 for extremidade do intervalo, pode-se aplicar a mesma ideia considerando derivadas laterais; a conclusão final será análoga — vou tratar o caso interior, que é o essencial e usualmente assumido em contextos de curvas regulares.)
Calcule g'(t) usando regra da cadeia:g'(t)=2\bigl(f(t)-c\bigr)\,f'(t).Portanto, em t=t_0,0=g'(t_0)=2\bigl(f(t_0)-c\bigr)\,f'(t_0).
Passo 6
Concluir que f'(t_0)=0 e interpretar geometricamente.
Pelas hipóteses temos g(t_0)>0, isto é, \bigl|f(t_0)-c\bigr|>0. Logo f(t_0)-c\neq 0. Com isso, da igualdade0=2\bigl(f(t_0)-c\bigr)\,f'(t_0)segue necessariamente quef'(t_0)=0.
Expandindo a definição de f,f'(t_0)=\frac{d}{dt}\Big|_{t=t_0}\langle \alpha(t),n\rangle = \langle \alpha'(t_0),n\rangle.Portanto\langle \alpha'(t_0),n\rangle = 0.
Passo 7
Concluir que a tangente é paralela a L.
A igualdade \langle \alpha'(t_0),n\rangle = 0 diz que o vetor tangente \alpha'(t_0) é ortogonal a n.
Como n foi escolhido como vetor normal a L, ser ortogonal a n significa ser paralelo a L.
Conclusão: a reta tangente à curva \alpha em t=t_0 (a reta que tem direção \alpha'(t_0)) é paralela à reta L.
Resposta
A reta tangente a \alpha em t=t_{0} é paralela a L.