Seja
uma curva diferenciável. Suponhamos que existe
tal que
onde
é um ponto fixo. Prove que a reta tangente a
em
e a reta que une
com
são ortogonais. Obs: Neste exercício,
pode ser trocado por
.
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede uma conclusão clara:
- Tem-se uma curva diferenciável
. - Existe
tal que onde é um ponto fixo. - O que se pede: provar que a reta tangente à curva
em e a reta que une com são ortogonais.
Observação: o enunciado permite trocar
por
; a argumentação é análoga (mínimo vira máximo e vice-versa).
Passo 2
Vamos reduzir o problema a uma função real de uma variável que tem extremo em
. Defina
Explico por que uso o quadrado da norma: a função
tem mínimo (ou máximo) em
, e elevar ao quadrado preserva a posição do extremo (pois
é estritamente crescente em
). Além disso,
é mais fácil de derivar porque evita a raiz quadrada. Pela hipótese,
ou seja,
é um ponto de mínimo (no caso
) ou de máximo (no caso
) de
.
Passo 3
Como
é diferenciável,
é diferenciável. Escrevendo
, temos
onde
é o produto escalar em
. Vou derivar
usando regra do produto/componentes: para qualquer vetor dependente de
,
(Justificativa breve: escreva
, então
e
.)
Aplicando isso a
(note que
é constante, então
), obtemos
Passo 4
Como
é ponto de extremo de
e
é diferenciável, vale
Substituindo a expressão de
do Passo 3, obtemos
Dividindo por
segue
Passo 5
Interpretação geométrica e conclusão final: o vetor
é um vetor tangente à curva em
(direção da reta tangente) e o vetor
é a direção do segmento que une
a
. O produto escalar zero significa exatamente que esses dois vetores são ortogonais. Portanto a reta tangente em
é ortogonal à reta que une
com
.
Observação sobre regularidade: se
, a reta tangente está bem definida e a ortogonalidade acima é a desejada. Se
, a equação
é verdadeira (produto escalar com o vetor zero = 0), mas geometricamente não há reta tangente única bem definida nesse ponto; normalmente o enunciado supõe curva regular para que a reta tangente exista.
Passo 6
Intuição rápida e exemplo: isto é exatamente o que acontece num círculo centrado em
: o ponto mais próximo de
sobre o círculo é aquele em que o raio (vetor do centro até o ponto) é perpendicular à tangente local. Aqui fizemos a versão geral para qualquer curva diferenciável, usando apenas cálculo de uma função de uma variável.