Estude os domínios de regularidade das seguintes curvas:
\alpha(t)=(\cos t, 1-\operatorname{sen} t-\cos t,-\operatorname{sen} t)

Passo 1

O enunciado fornece a curva
\alpha(t)=\bigl(\cos t,\;1-\operatorname{sen}t-\cos t,\;-\operatorname{sen}t\bigr).
Vou listar claramente o que o problema pede e as informações que temos:
  • A função trigonométrica aparece nas três coordenadas (cosseno e seno), então a curva está definida para todo t\in\mathbb{R}.
  • O que é pedido: estudar os domínios de regularidade, isto é, determinar os valores de t em que a curva é regular (onde a derivada não é o vetor zero) e os valores onde não é regular.

Passo 2

O que significa “curva regular”?
  • Definição prática: a curva \alpha é regular em t_0 se a derivada \alpha'(t_0) existe e \alpha'(t_0)\neq(0,0,0).
  • Estratégia: calcular \alpha'(t) componente a componente e investigar se há algum t tal que todas as componentes da derivada sejam zero ao mesmo tempo. Se não houver tal t, a curva é regular para todo t.

Passo 3

Derivando componente a componente (lembrando \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t e \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t):
\alpha(t)=\bigl(\cos t,\;1-\sin t-\cos t,\;-\sin t\bigr)
portanto
\alpha'(t)=\bigl(-\sin t,\;-\cos t+\sin t,\;-\cos t\bigr).

Passo 4

Queremos saber se existe t\) com \(\alpha'(t)=(0,0,0)\). Uma forma direta é resolver o sistema \[\begin{cases} -\sin t=0,\\[2pt] -\cos t+\sin t=0,\\[2pt] -\cos t=0. \end{cases}
Mas há um caminho mais elegante e imediato: calcular o quadrado da norma de \alpha'(t)\]. Se a norma for sempre positiva, então \(\alpha'(t) nunca é o vetor zero.]

Passo 5

Calculemos \|\alpha'(t)\|^2:
\begin{aligned} \|\alpha'(t)\|^2 &=(-\sin t)^2+(-\cos t+\sin t)^2+(-\cos t)^2\\[4pt] &=\sin^2 t+(\sin t-\cos t)^2+\cos^2 t\\[4pt] &=\sin^2 t+\bigl(\sin^2 t-2\sin t\cos t+\cos^2 t\bigr)+\cos^2 t\\[4pt] &=2\sin^2 t+2\cos^2 t-2\sin t\cos t\\[4pt] &=2(\sin^2 t+\cos^2 t)-2\sin t\cos t\\[4pt] &=2-2\sin t\cos t. \end{aligned}
Usando a identidade \sin 2t=2\sin t\cos t, obtemos
\|\alpha'(t)\|^2=2-\sin 2t.]

Passo 6

Agora analisamos 2-\sin 2t. Sabemos que \sin 2t\in[-1,1] para todo t. Portanto
2-\sin 2t\in[2-1,\;2-(-1)]=[1,\;3].
Em particular \|\alpha'(t)\|^2\ge 1>0 para todo t. Assim \|\alpha'(t)\|>0 para todo t, o que implica que \alpha'(t)\neq(0,0,0) para todo t\in\mathbb{R}.

Passo 7

Conclusão e dica de prova: não existe t tal que todas as componentes da derivada se anulem simultaneamente (isto também pode ser visto pelo sistema direto, que exige \sin t=0 e \cos t=0 ao mesmo tempo, impossível). A técnica de verificar a norma ao quadrado é rápida e robusta em provas — muitas vezes evita resolver sistemas trigonométricos.

Resposta

A curva é regular para todo t\in\mathbb{R}.

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