Estude os domínios de regularidade das seguintes curvas:
Passo 1
O enunciado fornece a curva
Vou listar claramente o que o problema pede e as informações que temos:
- A função trigonométrica aparece nas três coordenadas (cosseno e seno), então a curva está definida para todo
. - O que é pedido: estudar os domínios de regularidade, isto é, determinar os valores de
em que a curva é regular (onde a derivada não é o vetor zero) e os valores onde não é regular.
Passo 2
O que significa “curva regular”?
- Definição prática: a curva
é regular em se a derivada existe e . - Estratégia: calcular
componente a componente e investigar se há algum tal que todas as componentes da derivada sejam zero ao mesmo tempo. Se não houver tal , a curva é regular para todo .
Passo 3
Derivando componente a componente (lembrando
e
):
portanto
Passo 4
Queremos saber se existe
Mas há um caminho mais elegante e imediato: calcular o quadrado da norma de
nunca é o vetor zero.]
Passo 5
Calculemos
:
Usando a identidade
, obtemos
Passo 6
Agora analisamos
. Sabemos que
para todo
. Portanto
Em particular
para todo
. Assim
para todo
, o que implica que
para todo
.
Passo 7
Conclusão e dica de prova: não existe
tal que todas as componentes da derivada se anulem simultaneamente (isto também pode ser visto pelo sistema direto, que exige
e
ao mesmo tempo, impossível). A técnica de verificar a norma ao quadrado é rápida e robusta em provas — muitas vezes evita resolver sistemas trigonométricos.
Resposta
A curva é regular para todo
.